鸡兔同笼的数学故事：古书中的数学题
鸡兔同笼的数学故事：古书中的数学题是不是很晕？其实这两种方法是一回事，只是一个讲得具体一点，一个讲得笼统一点。又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。答曰：雉（鸡）二十三，兔一十二。怎么算出来的呢？《算经》中给出了两种方法：术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。
中国古代，不但有《孙子兵法》，还有《孙子算经》。
《孙子算经•度量衡》
我们现在小学课本中的“鸡兔同笼”问题，就是来自于《下卷》31题：
今有雉（鸡）、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？
答曰：雉（鸡）二十三，兔一十二。
怎么算出来的呢？《算经》中给出了两种方法：
术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。
又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。
是不是很晕？其实这两种方法是一回事，只是一个讲得具体一点，一个讲得笼统一点。
第（1）步，“半”是做除法。“半其足”，就是94÷2=47（只）脚。
第（2）步，“除”是做减法。只是古人习惯跟我们相反，表达的是“小的数用大的数来减”的意思。“上三除下四，上五除下七”、“以头除足”，就是47－35=12（只）。
第（3）步，“下有一除上三，下有二除上五”、“以足除头”，就是35－12=23（只）。
为什么可以这么做呢？
我们可以来假设一下。如果鸡抬起一只脚，也就是鸡采用了“金鸡独立”的姿态，一条腿立在地上；兔子抬起两只脚，“直立行走”姿态，两条腿立在地上。立在地面上的脚是总数的一半，也就是：94÷2=47（条）
47这个数，代表的是每只鸡一条腿，每只兔子两条腿；从数量上来说，相当于鸡数了一遍，兔数了两遍。因此从47中，减去鸡和兔的总数，剩下的就是兔子的数数量。
兔子有47－35=12（只）。
则，鸡有35－12=23（只）
所以，上面的计算，可以归结为两步算式：
（1）总脚数÷2-总头数=兔子数
（2）总头数-兔子数=鸡数
做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！我们的古人多聪明。
但是，能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又刚好是2的两倍。是特殊条件下的特殊算法。当6条腿的蛐蛐遇上8条腿的蜘蛛时，或当4个轮子的轿车遇上6个轮子的卡车时，上面的方法就行不通了。
我们会发现，“鸡兔同笼”问题的难点，也是问题的本质在于“转换”：一只鸡和一只兔的腿数是不相同的——一只鸡2条腿，一只兔子4条腿。
所以，我们可以把古人的特殊算法，分解为“抬腿法”或“捆腿法”，来帮助理解其中的转换逻辑，进而解决更多的类似问题。
[抬腿法]
现在一共是35个头，94条腿。
先让每只动物都抬起一条腿，那鸡就变成了1条腿，兔子变成3条腿，立在地上的还有94－35=59（条）腿。
接着，让每只动物再抬起一条腿，现在鸡一屁股坐在地上（0条腿）了，兔子变成2条腿直立姿态，立在地上的还有59－35=24（条）腿。
这些剩下的腿就都是兔子的了。1只兔子有2条腿立在地上，一共24条腿，那么兔子有24÷2=12（只）。
则，鸡有35－12=23（只）。
后来，“鸡兔同笼”的问题传到日本，被改为“鹤龟算”，那么一屁股坐在地上的就应该的丹顶鹤了。
[捆腿法]
鸡和兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子也就成了2只脚的“兔子鸡”。
现在，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。
松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70 2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，再一只，2……一直继续下去，直至增加24，因此兔子有24÷2=12（只）。
则，鸡有35-12=23（只）。
这里是假设全是鸡，基本关系式为：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）
也可以设想35只都是兔子，那么就有4×35=140（只）脚，多了140-94=46（只）。
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以每一只鸡要还回去2只脚。
鸡数：46÷(4-2)=23（只）.
则，兔有35-23=12（只）
基本关系式为：鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
不管是“抬腿法”还是“捆腿法”，本质上，都是抓住了数量转换关系，并运用“假设法”来简化关系，从而解决问题的方法。这样的思考方式，有普遍意义。鸡和兔可以用，蟋蟀和蛐蛐可以用，小轿车和卡车也可以用，买东西还可以用。
举一反三1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿。有蛐蛐和蜘蛛共10只，共68条腿，蛐蛐和蜘蛛各有多少只？
2.1瓶可乐6元，1瓶雪碧8元。牛牛共买这两种饮料8瓶，共花58元。可乐和雪碧各有多少瓶？
3.一辆卡车有6个轮子，一辆小汽车有4个轮子，停车场一共有14辆车，现在一共有72个轮子，你知道卡车和小汽车各有几辆吗？
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