对从0到1的理解（我们就是要纠结1）

对从0到1的理解（我们就是要纠结1）早在远古时代，人类采集果实和打猎中产生了对计数的需求，于是使用手指、树枝、刻痕、石子等实物来进行计数。例如五个石子代表五个果实，七条划痕代表七个猎物等。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来形成了数字，（比如古印度数字、古中亚楔形数字、古埃及数字、古玛雅数字以及现在世界通用的阿拉伯数字。先有数字1，以后逐次累计得到2 3 4......这样逐渐产生和形成了自然数。因此自然数也就是用来表示事物个数的存在。“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”——克罗内克(1823-1981)陈景润老师不能证明1 1的问题，这真不是他老人家的错，这里我们不做过多介绍，只是向大家强调，我们所讨论的1加1绝不是哥德巴赫猜想，而就是讨论1 1=2的问题。本文将从两部分介绍相关问题。第一部分

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作者 南梦玲，哆嗒数学网原创组成员，北京绳索技术协会常任理事。

“你数学那么好，那你能证明1 1为什么等于2吗？这可是连陈景润都证明不了的！”相信各位身边有数学学霸的小伙伴们或多或少都问过其相关问题，然后就是一通争论，吵得面红耳赤最后绝招：我要和你绝交！

其实真的不需要为了这个问题就影响了好朋友的关系。好吧，我们哆嗒数学网的小编为了挽回各位小伙伴们纯洁的友谊，仔细认真的向大家介绍下1 1的故事。

陈景润老师不能证明1 1的问题，这真不是他老人家的错，这里我们不做过多介绍，只是向大家强调，我们所讨论的1加1绝不是哥德巴赫猜想，而就是讨论1 1=2的问题。

本文将从两部分介绍相关问题。

第一部分

“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”——克罗内克(1823-1981)

早在远古时代，人类采集果实和打猎中产生了对计数的需求，于是使用手指、树枝、刻痕、石子等实物来进行计数。例如五个石子代表五个果实，七条划痕代表七个猎物等。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来形成了数字，（比如古印度数字、古中亚楔形数字、古埃及数字、古玛雅数字以及现在世界通用的阿拉伯数字。先有数字1，以后逐次累计得到2 3 4......这样逐渐产生和形成了自然数。因此自然数也就是用来表示事物个数的存在。

而0的诞生，则代表空无一物，最初的时候，0是否为自然数颇具争议，后来国际标准ISO/IEC 80000-2规定，0属于自然数。在此我们不做讨论。

那么，很自然的，地上有1个苹果，再放上1个，就是2个苹果。这也是最早的加法的使用，纯粹的实物累计作用。这也就是为什么我们说1 1=2的最根本所在。

第一部分结束。

N年以后……

第二部分

随着时代的变迁，数学的发展，人类终于进入了新的时代不用再光着身子到处跑。我们不仅仅解决了穿衣服的问题，而且也对数的研究也有了惊人的发展，基底有了统一的规范，生活常用以十为基底的十进制计数法并且扩充数的范围到了有理数。某人被投河杀的事件也标志着无理数的诞生。公元前300年欧几里得大作《几何原本》的诞生宣告了公理化体系走进了数学领域。

什么是公理和定理呢？用通俗的语言说，就是人们找出一些基本的大家都认同的概念，当做不需要证明的本身就是正确的公理，（即人为规定它就是真，不服你咬我呀。有关黎曼咬欧几里得的故事请参看长篇小说《黎曼几何》）而从这一系列公理的集合，推理出的其他一些为真的命题，就是定理。

而我们的自然数的，自然也必须将被公理化。

1889年皮亚诺的名著《算数原理新方法》（Arithmetices principia，nova methodo exposita）出版，书中他给出了举世闻名的自然数公理。这里，我们将再次回归1 1的问题。

皮亚诺公理

0是自然数；

每一个确定的自然数n都有一个确定的后继，记作n'。n'也是自然数；

如果m、n都是自然数，并且m' = n'，那么m = n；

0不是任何自然数的后继；

如果一些自然数的集合S具有性质：0在S中，且有，若n在S中，则n'也在S中，那么S = N。

这里我们把0当做自然数的第一个数字。（这可能和皮亚诺最开始的表述不一样。为了方便我们不去考虑0的问题）

在这里我们能看到，0是一切的开端，它不是任何自然数的后继数。那么0的后继是什么呢？总要有个符号来表示吧，那就是1；而1的后继，就是2。以此类推，我们将得到全部的自然数，用N来表示。

在这里我们再定义一下加法，也就是符号" "的含义：

• 对于任意的自然数m有， 0 m=m

• 对于任意的自然数m和n n' m=(n m)'

我们有了皮亚诺公理和 的定义，接下来就可以来证明1 1等于2了。

1 1=0' 1 (因为1是0的后续，所以第一个1用0的后续来代替)

=(0 1)' (根据加法定义II）

=1' (根据加法定义I)

=2 (1的后续用符号表示就是2)

到此我们便在皮亚诺公理体系之上，证明了1 1=2这个定理。

到此告一段落。不知小伙伴们纯洁的友谊是否得到了弥补？在此笔者祝愿大家永远不要忘记，争论这些本源问题时，我们所抱有的求知欲望。

其实关于自然数的皮亚诺公理还有很多故事可讲，比如Hatcher从一些基础系统，包括ZFC和范畴论推导出了皮亚诺公理。他也从弗雷格的Grundgesetze系统出发，使用现代符号和自然演绎谨慎的推导出这些公理，虽然罗素悖论曾经让其很悲剧，但George Boolos和Anderson与Zalta等人对它进行了修补，这就又是另外的传奇故事了。

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