微积分基本定理与积分中值定理（从牛顿到勒贝格）

微积分基本定理与积分中值定理（从牛顿到勒贝格）欧拉的一个微分要在这短短一章的篇幅中公允地介绍这些贡献是不可能的。我们仅选择5个主题，以期能窥探欧拉的成就。首先从初等微积分的一个例子开始，介绍他大胆的—或许有人会说是不顾一切的方法，来说明他如此鲜明的工作特色。微积分的历程：从牛顿到勒贝格 伯努利兄弟篇 - 哥廷根数学学派的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/559039158无论按何种标准衡量历史上最杰出的数学家，莱昂哈德·欧拉都是其中的佼佼者。在永不枯竭的广泛兴趣的推动下，他使数学发生了彻底的变革，他一方面扩展了像数论、代数学和几何学这样一些早已确立的分支学科的研究范围，同时又创建了像图论、变分学和分拆论这样一些分支学科。数学界在1911年开始出版他的著作集《欧拉全集》，这本身就是一个巨大的挑战。到目前为止，已经出版了70余卷，达25000多页，还尚未完成此项任务。这个耗费了将近一个世纪时间的庞大

作者：William Dunham

译者：李伯民， 汪军， 张怀勇

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无论按何种标准衡量历史上最杰出的数学家，莱昂哈德·欧拉都是其中的佼佼者。在永不枯竭的广泛兴趣的推动下，他使数学发生了彻底的变革，他一方面扩展了像数论、代数学和几何学这样一些早已确立的分支学科的研究范围，同时又创建了像图论、变分学和分拆论这样一些分支学科。数学界在1911年开始出版他的著作集《欧拉全集》，这本身就是一个巨大的挑战。到目前为止，已经出版了70余卷，达25000多页，还尚未完成此项任务。这个耗费了将近一个世纪时间的庞大的出版项目充分证明了欧拉与生俱来的过人数学天赋。

这种天赋在分析学中表现尤为突出。在已经出版的欧拉著作集中，就有厚厚的18卷近9000页是论述这门学科的。这些著作中包含了函数（1748）、微分学（1755）和 积分学（1768）的里程碑式的教材，以及数十篇题材从微分方程到无穷级数以至椭圆积分的论文。因此，欧拉被描绘成“分析学的化身”。

要在这短短一章的篇幅中公允地介绍这些贡献是不可能的。我们仅选择5个主题，以期能窥探欧拉的成就。首先从初等微积分的一个例子开始，介绍他大胆的—或许有人会说是不顾一切的方法，来说明他如此鲜明的工作特色。

欧拉的一个微分

欧拉在1755年写的《微分学原理》这本教科书中，给出了微分学的一些常见的公式。这些公式建立在“无限小量”概念的基础上，他对这一概念的特征描述如下。

毫无疑问，任何量都可以减小直到完全消失，以至最后不复存在。但是一个无穷小量是一种不断减小的量，因此，它在事实上等于0 ……同其他普通的思想一样， 在这种思想中其实并没有隐含什么高深莫测的奥秘，使得无穷小的演算变得如此疑难重重。

对欧拉来说，微分dx就是零：既不多，也不少— 一句话，什么也没有。因此，表达式x 和x dx是相等的，并且在必要时可以互换。他注意到“同有限量相比，无穷小量消失为零，因此可以忽略不计”。此外，像(dx)^2 和(dx )^3 这样的无穷小量的乘方比dx还要小，所以同样可以随意丢弃。

欧拉通常需要寻求的是微分之比 ，并且确定这个比值，这相当于对0/0赋予一个值，这是微积分的使命。正如他所说，“微分学的强大之处在于它同研究任何两个无穷小量的比值相关”。

我们以他对函数 的处理作为一个例证。欧拉从牛顿级数开始（其中我们使用现在的“阶乘”符号）：

用微分dx代换z ，他推出

由于微分的高次方相对于dx或者常数是可以忽略的，这两个级数化简成

欧拉的一个积分

欧拉是历史上最重要的求积专家之一，被积函数越是奇特，他做得越是得心应手。 在他的著作中，特别在《欧拉全集》第17卷、第18卷和第19卷中，随处可见下面一 类非同寻常的例子：

最后这个公式是超越函数一种多重组合的积分。

用积分的无穷级数代替无穷级数的积分，得到

当欧拉将这个形式的结果用于式（3）时，他求出

这自然是第2章中的莱布尼茨级数，所以欧拉得到

从这个推导可以看出，欧拉同他的前辈们牛顿、莱布尼茨和伯努利兄弟一样，是对付无穷级数的（无畏的）高手。事实上，人们有理由说，在他的前辈数学家们的工作基础上，一种相当高的处理无穷级数的水平造就了这样一位早期的分析学家。 上述积分中出现的π把我们直接引向下一个主题：求这个著名的超越数的近似值的欧拉方法。

π的欧拉估值

按照定义，π是圆的周长与直径的比值。自古以来，人们就认识到这个比值对任何圆而言皆为常数，但是确定这个常数的数值则让数学家们忙碌了几个世纪。 众所周知，阿基米德估计π值的方法是画出圆的内接（和外切）正多边形，然后用这 两个多边形的周长估计圆的周长。他从内接和外切正六边形开始计算，然后将边数 加倍到12边、24边、48边，最后直至96边。他证明了“任意圆的周长与直径的比值

后来的数学家们利用了阿基米德的思想，他们的数系比古希腊人所用的数系在计算上更为简单。弗兰西斯·韦达（1540—1603）于1579年用 边的正多边形求出π精确到9位小数的值。这种几何近似的方法在鲁道夫·范·休伦（1540-1610）手里到达了顶峰（或者说触到了天底）。他用边的正多边形计算π精确到35位小数的值，显示为一串非常冗长的数字。据说这个计算耗费了他几乎一生时光。

不幸的是，这个计算过程中的每一次新的近似都需要求一个新的平方根。阿基米德的内接96边形的π的估计值为

这个表达式赏心悦目，然而演算起来却是铅笔的梦魇。在计算这五重平方根以后， 我们才得到仅有两位小数的精度。更糟糕的是韦达所求的17重平方根只得到9位小数的精度，而令人望而生畏的是鲁道夫的近似值需要手工计算五打的嵌套平方根，而且每次计算都需要取35位小数。欧拉将这种工作比喻为大力神海格力斯式的笨重劳动。

所幸还有其他计算方法。我们在第2章已经提到过詹姆斯·格雷戈里发现的反正切函数的无穷级数：

所以

这是对莱布尼茨级数的改进，因为各项的分母增长非常快。另一方面

并不是那么小，而且这个级数包含平方根，这本身就需要取近似值。

对于一位18世纪的数学家来说，理想的计算公式就是使用格雷戈里无穷级数，取充分接近于零的x值，同时避免求平方根。这在欧拉1779年的一篇论文中有明确的描述。他的关键发现是

初看起来像是一个印刷错误。尽管似乎是不可能的，但是，这是一个等式 而不是估值。下面是欧拉对它的证明。

前6项，我们得到

这里，12位小数使π的精度高达千亿分之二，比韦达通过求17重嵌套平方根所得结果的精度高得多。事实上，欧拉宣称曾经使用这样的方法求出π到20位小数的近似值，“而全部计算花费的时间仅约为1小时”。回忆一下可怜的鲁道夫毕生致力于他的乱作一团的平方根的计算，令人不禁想把欧拉的绰号改为“效率的化身”。

引人注目的求和

在这一节，我们将会见到欧拉是如何通过分析一种简单的求和形式找到下列级数的准确值的：

以及其他许许多多的级数。通过将这些求和统一在一种原理之下，欧拉不愧为历史 上最卓越的级数处理大师。 故事从他在1748年所写的《无穷小分析引论》这本教科书中的下述结果开始。

证明 欧拉指出这些公式 “在直观上是显而易见的”，但是承诺要用微分方法给出严格的证明。这个证明出现在他于1750年所写的一篇关于方程论的论文中。在证明这个引理之前，我们必须首先明白它的含义。置

然而杰出的分析学家欧拉却看到了它不同的一面。他从取对数

开始。然后，补充他关于使用微积分给出证明的承诺，欧拉对等式两端微分，得到

对这个等式交叉相乘并展开，得到

这个过程可以随意地持续下去。通过综合使用对数、导数和等比级数，欧拉证明 他的“直观上显而易见的”公式！

由此，我们又回到了莱布尼茨级数。请注意，同第2章中莱布尼茨复杂的几何推导相比，欧拉的推导是显然不用三角形、曲线或者图形的纯粹分析过程。

的评论：“欧拉是求和崇拜中的大祭司，因为他在发明非正统的求和方法方面比其他任何人都聪明。”当然，这位大祭司还不能解决他的证明带来的难以捉摸的收敛问题。这样的问题不得不留到下一个世纪去解决。

些级数的和，欧拉写道：“既不能用对数表示，又不能用圆周率π表示，也不能通过其他任何有限形式赋予一个值。” 被这个恼人的问题难住以后，欧拉显然很受挫，一度承认进一步的研究对他来说是“没有意义的”。直到今天仍然不清楚， 这些奇次幂的级数的性质，这在某种程度上说明他在分析上的直觉能力。有人猜想，既然欧拉没有找到简单的解，它就是不存在的。 我们以欧拉对分析学的另一项重要贡献来结束本章：将阶乘扩充到非整数值的欧拉思想。

伽玛函数

对一个包含自然数的公式进行插值是一个很有趣的数学练习。也就是说，我们寻找 一个定义在更大范围内的表达式，当输入为正整数时结果同原有公式一致。 为清楚起见，我们考虑 Philip Davis在一篇关于伽玛函数起源的文章中讨论的下 述例子。对于任意正整数n ，我们令

他的第一个解出现在1729年10月致克里斯琴·哥德巴赫的信件中。他在信中给出了一个看似奇特的无穷乘积

这个答案给欧拉提供了一条有价值的线索。由于π出现在结果中，他推测某种与圆面积的联系可能隐藏在这个表面现象之下，这进而提示他把研究转向积分 。他仅费少许工夫就得到了替代公式

证。

定义的伽玛函数 。但是，值得注意的是，这个特殊的积分也出现在欧拉的著作中。

应用复杂的数学分析的任何场所，从概率论到微分方程，再到解析数论。如今，伽玛函数被看作是分析学中首屈一指的“高级函数”同时或许是最重要的“高级函 数”。所谓“高级函数”是指在定义中需要用到微积分概念的函数。在刻画初等数学的特征方面，除代数函数、指数函数或三角函数之外，伽玛函数占据一席之地。 此外，像许多别的发现一样，我们把这个函数归功于欧拉。

本章的种种结果，无论是微分还是积分，也无论是近似值还是插值，都展现了惊人的独创性。冯·诺伊曼把欧拉称为“他那个时代最杰出的数学家”，因为他提出了许多正确的问题，并且经常凭借惊人的敏捷头脑和直觉思维能力找到正确的答案。毫无疑问，欧拉对分析学驾轻就熟，在分析学这个十全十美的舞台上展现的仿佛是他不拘一格的信条：沿着公式就能通向真理。在分析学中，无出其右者。