不等式的基本必背公式（这里有无穷无尽的不等式）

不等式的基本必背公式（这里有无穷无尽的不等式）比如：根号e<(1 e)/2 e^2<(e e^3)，e^0.2<(e^0.1 e^0.3)/2 e^(-1)=(e e^(-3)) ……而当a b取不同的值时，就会产生无穷无尽的不等量关系。x1 x2就是曲线上的任意两点的横坐标。λ是小于1的正数。那你有没有想过，任意凸函数都会有它自己的定义不等式。比如：对任意实数a b 有e^((a b)/2)≤(e^a e^b).它其实是对下凸函数y=e^x的定义不等式的一个直接运用。a b是曲线上任意两点的横坐标，这里取λ=1/2. 对它的证明自然是轻而易举的了。由于y=e^x是严格上凸的，所以这里当且仅当a=b时，才取不等式的等量关系。

你有没有想过，凸函数的定义不等式，竟然可以派生出无穷无尽的不等式。只要你的脑洞足够大，所有不等式都可以从中派生出来，当然也包括那些世界闻名的不等式。甚至有可能派生出新的重要不等式来。

凸函数的定义不等式的定义不等式有两个形式。一个是上凸函数的定义不等式，一个是下凸函数的定义不等式。它们的不等号方向正好是相反的。

上凸函数比如自然对数函数y=lnx，a小于0的二次函数y=-x^2等。上凸函数的定义不等式描述的是，曲线上任意两点间的任意点，都在经过这两点的割线上竖直对应点的上方。用不等式表示为：f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2)。

下凸函数比如e的指数函数y=e^x，a大于0的二次函数y=x^2等。下凸函数的定义不等式描述的是，曲线上任意两点间的任意点，都在经过这两点的割线上竖直对应点的下方。用不等式表示为：f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2)。

x1 x2就是曲线上的任意两点的横坐标。λ是小于1的正数。

那你有没有想过，任意凸函数都会有它自己的定义不等式。比如：对任意实数a b 有e^((a b)/2)≤(e^a e^b).

它其实是对下凸函数y=e^x的定义不等式的一个直接运用。a b是曲线上任意两点的横坐标，这里取λ=1/2. 对它的证明自然是轻而易举的了。由于y=e^x是严格上凸的，所以这里当且仅当a=b时，才取不等式的等量关系。

而当a b取不同的值时，就会产生无穷无尽的不等量关系。

比如：根号e<(1 e)/2 e^2<(e e^3)，e^0.2<(e^0.1 e^0.3)/2 e^(-1)=(e e^(-3)) ……

相信只要你稍一动脑筋，就会发现，上面这一系列的不等式，只是均值不等式的一些特例。不过并非所有的凸函数派生出来的不等式，都是均值不等式的特例。比如：对任意非负实数a b 有2arctan((a b)/2)≥arctana arctanb.

反正切函数y=arctanx与y=e^x在凸性上有很大的不同，y=e^x在R上是严格下凸的，而y=arctanx则在非负区间严格上凸，在非正区间严格下凸。在这方面，y=arctanx由定义不等式，可以直接派生出两个不等式。包括对任意非正实数a b 有2arctan((a b)/2)≤arctana arctanb.

同样当仅且当a=b时，才取它们的等量关系。也同样的，当a b取不同的值时，也会派生出更多不一样的不等式，比如：arctan(a b)≥(arctan(2a) arctan(2b))/2 (a b非负).

甚至，如果凸函数的定义公式派生出来的不等式，与其它不等式结合起来，就有可能派生出更多不一样的不等式来了。比如，上面提到的不等式e^((a b)/2)≤(e^a e^b)，如果结合不等式e^x≥1 x，就可以派生出不等式：1 (a b)/2≤(e^a e^ b)/2.

加上各个凸函数派生出来的不等式之间也可以互相结合。因此，老黄有理由相信，所有的不等式，都可以在这个体制下派生出来。只是老黄的脑洞还不够大。目前还没有更重要的发现而已。老黄不行，不代表你不行哦。大家一起来努力，说不定会有意外的惊喜哦。