零点定理是根的存在定理吗（由实分析零点存在定理证明代数基本定理）

零点定理是根的存在定理吗（由实分析零点存在定理证明代数基本定理）用确界存在证明实数是连续的（数学分析）设f(x)是一个复系数多项式，则它一定有复数根，设根为a，则f(x)=(x-a)g(x)，g(x)也是复系数多项式，所以它必有一个复数根，这样f(x)就可以在复数域中完全分解。引理3、每个次数大于等于1的实系数多项式必有复根。这个证明关键在于构造G(x)这个实系数多项式，构造的方法类似于拉格朗日预解式，根的任意置换使多项式不变，说明多项式系数是根的对称式，所有对称式都可以用基本对称式表示，所以G(x)是实系数多项式。而G(x)次数又满足归纳假设，于是G(x)有复数根。现在证明代数基本定理。实际上代数基本定理说复系数多项式必有一个复数根，很快我们就可以知道复系数多项式所有根都是复数根，也就是复数域是代数封闭域。

代数基本定理表明了复数域的特征，就如同实数连续性定理表明了实数域的特征。我前面写过一篇“用确界存在证明实数是连续的”，用无限小数表示实数，确界存在表明实数系没有“空隙”。现在从实数系的零点存在定理出发，证明代数基本定理。

引理1、每个奇次实系数多项式必有一实根。

引理2、复系数二次多项式的根都是复根。

接下来是关键的证明，前面已经证明了奇次实系数多项式有一个实根，也就是有一个复根，但是缺少偶次实系数多项式的情况，引理2的二次多项式是一个偶次的情况，现在应用数学归纳法来证明每个次数大于等于1的多项式有复根。

引理3、每个次数大于等于1的实系数多项式必有复根。

这个证明关键在于构造G(x)这个实系数多项式，构造的方法类似于拉格朗日预解式，根的任意置换使多项式不变，说明多项式系数是根的对称式，所有对称式都可以用基本对称式表示，所以G(x)是实系数多项式。而G(x)次数又满足归纳假设，于是G(x)有复数根。现在证明代数基本定理。

实际上代数基本定理说复系数多项式必有一个复数根，很快我们就可以知道复系数多项式所有根都是复数根，也就是复数域是代数封闭域。

设f(x)是一个复系数多项式，则它一定有复数根，设根为a，则f(x)=(x-a)g(x)，g(x)也是复系数多项式，所以它必有一个复数根，这样f(x)就可以在复数域中完全分解。

用确界存在证明实数是连续的（数学分析）

如何推导三次方程和四次方程求根公式

为什么n大于等于5时，n次对称群不是可解群