什么是黎曼函数的平凡零点（三亿个零点还不够证明黎曼定理）

什么是黎曼函数的平凡零点（三亿个零点还不够证明黎曼定理）（图片来自网络） 遗憾的是， 数学家们在这方面所获得的进展比直接捕捉零点还要少得多， 简直可以说是少得可怜。 从排除区域的角度上讲， 最先被排除掉的是 Re(s)<0 及 Re(s)>1， 这是非常简单的结果。 接着被排除掉的是 Re(s)=0 及 Re(s)=1， 这是非常困难的结果， 它直接导致了素数定理的证明， 临界带的概念也由此产生。 但是， 正如我们在这个漫长系列中所看到的， “抓捕” 零点是一件极其困难的事情， 这么多年来， 经过这么多数学家的持续努力， 我们在临界线上 “抓捕” 到的零点数目还不到总数的一半。 在这种情况下， 我们不妨换一个角度来思考问题： 既然我们还无法证明所有的零点都位于临界线上， 那何不先试着排除掉某些区域呢？ 排除掉的区域越多， 零点可以遁形的地方也就越少， 这就好比是侦探在寻找罪犯时把无关的人员排除得越干净， 就越有利于锁定罪犯。 （图

读者们也许注意到了， 我们前面各节所介绍的有关零点分布的解析结果沿袭着一条共同的思路， 那就是尽可能地 “抓捕” 位于临界线上的零点。

从波尔-兰道定理确立临界线是零点分布的汇聚中心， 到哈代定理确立临界线上有无穷多个零点， 到哈代-李特尔伍德定理确定该 “无穷多” 最起码的增长方式， 到各种临界线定理确定临界线上零点比例的下界， 到有关单零点的类似结果， 再到 ξ(s) 及各阶导数在临界线上零点比例的下界…… 所有这些努力， 都是在试图 “抓捕” 临界线上的非平凡零点， 或与之有关的性质。

（玻尔（左）与普朗克在一起。图片来自网络）

这样的思路当然是非常合理的， 因为 Riemann 猜想所 “猜想” 的正是所有的非平凡零点都位于临界线上。 如果我们能在临界线上把所有的零点一一 “抓捕归案”， 自然也就证明了 黎曼猜想。

但是， 正如我们在这个漫长系列中所看到的， “抓捕” 零点是一件极其困难的事情， 这么多年来， 经过这么多数学家的持续努力， 我们在临界线上 “抓捕” 到的零点数目还不到总数的一半。 在这种情况下， 我们不妨换一个角度来思考问题： 既然我们还无法证明所有的零点都位于临界线上， 那何不先试着排除掉某些区域呢？ 排除掉的区域越多， 零点可以遁形的地方也就越少， 这就好比是侦探在寻找罪犯时把无关的人员排除得越干净， 就越有利于锁定罪犯。

（图片来自网络）

如果我们可以把临界线以外的所有区域——即 Re(s)<1/2 与 Re(s)>1/2——全部排除掉， 也同样就证明了 Riemann 猜想。

遗憾的是， 数学家们在这方面所获得的进展比直接捕捉零点还要少得多， 简直可以说是少得可怜。 从排除区域的角度上讲， 最先被排除掉的是 Re(s)<0 及 Re(s)>1， 这是非常简单的结果。 接着被排除掉的是 Re(s)=0 及 Re(s)=1， 这是非常困难的结果， 它直接导致了素数定理的证明， 临界带的概念也由此产生。

（图片来自网络）

这些结果距今都已经超过一百年了， 那么在时隔一百多年之后， 我们是否有能力把这类结果再推进一点， 比方说把临界带的右侧边界由 Re(s)=1 向左平移为 Re(s)=1-ε (ε>0)， 从而把 Re(s)≥1-ε 的区域排除掉呢？

不幸的是， 我们迄今还没有这个能力。 无论把 ε 取得多小， 一百多年来也始终没有人能够把 Re(s)≥1-ε 的区域排除掉。 迄今为止， 数学家们所能证明的只有诸如临界带之内曲线 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)| 2] (c>0) 右侧的区域内没有非平凡零点之类的结果。 由于曲线 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)| 2] 在 Im(s)→∞ 时无限逼近于 Re(s)=1， 因此我们无法利用这一结果将临界带的右侧边界向左平移哪怕最细微的一丁点。

（摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，作者：卢昌海）