功率谱密度和有效值密度的关系（如何理解信号的功率谱密度）

功率谱密度和有效值密度的关系（如何理解信号的功率谱密度）周期信号一般都是功率信号。能量无限，功率有限的信号成为功率信号；信号的平均功率为：如果信号平均功率有界，那定义信号是功率信号。能量有限，功率为0的信号为能量信号；

• 能量信号和功率信号

在讨论功率谱密度之前，我们首先要清楚什么是能量信号和功率信号？

中学物理我们都知道，当有电流通过一个负载一定时间，那么这个负载肯定会消耗能量，那么能量的计算公式为：

那么在单位时间内，单位负载（1欧姆）消耗的能量成为瞬时功率（随时间统计就是我们需要的谱），即：

综上，我们能够得到信号的总能量为瞬时功率的积分，即：

信号的平均功率为：

如果信号平均功率有界，那定义信号是功率信号。

能量有限，功率为0的信号为能量信号；

能量无限，功率有限的信号成为功率信号；

周期信号一般都是功率信号。

• 通过傅里叶变换求取信号的功率谱密度（PSD)

我们知道一个时域信号能进行傅里叶变化的前提是需要满足其在时域上积分有界的条件，即：

所以

根据Parseval’s theorem，信号的能量在时域和频域是能够转换的，即：

其中x(F)^2通常被称为能量密度、谱密度或者功率谱密度。

对于周期信号，可以定义其平均功率为[1]：

同时信号功率和能量的关系为：

所以对于周期信号（非周期信号看成一个周期信号在周期内的极限来看）功率谱密度直观理解就是已当前频率f为基准的1赫兹内的瞬时能量的多少。

随机信号的功率谱密度分析

鉴于使用频域方法进行系统分析，在考虑随机信号系统输入时，同样的方法是否仍然适用。不久就会看到，经过一些修改

它们仍然有用，修改后的方法在处理随机信号和处理随机信号方面提供基本相同的优势。

首先要考虑的是一个问题？傅里叶变换是否可以用于任何随机样本函数的分析。

对于一个随机信号，我们知道其频谱上任意的频点，其表现都是随机的；

其次对于一个随机信号其在时域也不满足可及的条件，一个平稳随机过程的样本永远不能满足这个条件（除了包含脉冲等的广义函数除外），如果一个信号具有非零功率，那么它有无限的能量，如果它有有限的能量，那么它有零功率（平均功率）。很快，我们可以看到，一类没有傅里叶积分但平均功率有限的函数可以用统计方法来描述。

假设x(t)是一个随机过程的样本函数，这个函数x(t)的一个截断版本被定义为：

定义了这个被截断的函数，从而可以得到xT(t)的傅里叶变换。该截断函数xT(t)的傅里叶变换对可以用常规傅里叶变换公式来表示。由于x(t)是一个功率信号，因此必须有一个与之相关的功率谱密度函数，并且在这个密度下的总面积必须是平均功率，尽管事实上x(t)是不可傅里叶变换的。

根据Parseval’s theorem，该截断信号满足：

等式两边同时除1/2T，则有：

上式左边类似于上面分析的周期信号的平均功率，对于各态历经随机过程来说，当T趋近于无限大时，该值也逐渐接近随机信号的均方值。

然而，在这个特殊的点上，当T接近于无穷大时的极限不能被取出，因为XT(f)在这个极限中是不存在的。回想一下，XT(f)是一个随机变量，是于x(t)的样本函数集合的。

其中上式右边期望的极限值可以合理的假设存在，因为根据上面式子其实是一个正值而且也确实存在。对上式取期望，并交换积分顺序且T趋于无穷得到：

上式定义为随机信号的时间意义上的平均功率。

上式右边就被定义为随机信号的功率谱密度，即：

对于非稳态随机过程，且为了区分方程被重新操纵时的积分变量，引入了t1和t2的下标：

最后，将期望E[xT（t1）xT（t2）]识别为截断过程的自相关数、其中Rxx（t1、t2）可以表示为：

我们可以看到功率谱密度是自相关函数的时间平均值的傅里叶变换。上式对于平稳过程是有效的。对于平稳过程，相关函数与时间无关，因此：

由此可以看出，平稳随机过程的谱密度只是自相关函数的傅里叶变换。

上述就是维纳-辛钦定理的主要内容，其在分析随机信号中非常重要，因为它提供了时域[相关函数Rxx(u)]和频域[频谱密度，S(f)]之间的联系。注意，唯一性实际上是傅里叶变换性。因此，对于一个平稳的随机过程，相关函数是谱密度函数的逆变换。然而，对于非平稳过程，相关函数不能从谱密度中恢复。只要有相关性的时间平均值是可恢复的。

本文后半部分主要参考一篇英文文献和该文https://blog.csdn.net/qq_24598387/article/details/79442830。

附上参考文献：Power Spectra Estimation

如果网上搜不到，可以留言留下邮箱[灵光一闪]