神奇数学知识点（大数与无穷之美）
神奇数学知识点（大数与无穷之美）同学们这时候要起哄了，周总理天纵英才，我自惭形秽也心甘情愿。有没有普通一点的故事？好，我再给同学们一个普通的开旅馆的故事。可见——数学学不好，总理当不了，诚不欺我也。第一套人民币话说新中国建国不久，一个西方记者问周总理：“请问，中国人民银行有多少资金?”周总理委婉地说：“18元8角8分。”记者瞬间懵逼，众人皆不解其意，周总理微微一笑，“中国人民银行发行的面额为10元、5元、2元、 l元、5角、2角、 l角、5分、2分、1分的10种主辅人民币，合计为18元8角8分。” 周总理这番应答，在今天读起来，我还必须写个“服”字！并献上我的膝盖。一个人，如果不具备 “大数”以及“列举法”数学逻辑，这种精妙绝伦的应答，是绝对不可能做到的。
2019年的高考刚刚落幕，各种媒体关于考题的热议，火力最集中的就是——数学；太难、烧脑、哭晕都是大家热搜的标签。传说中的葛军老师都不得不亲自发表声明，表示不再愿意为高考考生的哀怨而背锅了——题目确实不简单，但出题的人不是我（迷雾之笑脸）！
大家好，我是葛.灭霸.军
反正高考已经完事了，我们聊点轻松的，先讲讲数学在现实生活中的应用吧，再给大家一个重要的知识点（吹牛储备点）——无穷数的大小比较方法，保管足够震慑一般吃瓜群众，让大家成为喝酒唱K时玩脑筋急转弯的一股清流。
开始前，我们先来讲两个老故事热热身。
周总理的18.88块人民币
第一套人民币
话说新中国建国不久，一个西方记者问周总理：“请问，中国人民银行有多少资金?”周总理委婉地说：“18元8角8分。”记者瞬间懵逼，众人皆不解其意，周总理微微一笑，“中国人民银行发行的面额为10元、5元、2元、 l元、5角、2角、 l角、5分、2分、1分的10种主辅人民币，合计为18元8角8分。”
周总理这番应答，在今天读起来，我还必须写个“服”字！并献上我的膝盖。一个人，如果不具备 “大数”以及“列举法”数学逻辑，这种精妙绝伦的应答，是绝对不可能做到的。
可见——数学学不好，总理当不了，诚不欺我也。
无穷数的房间分配同学们这时候要起哄了，周总理天纵英才，我自惭形秽也心甘情愿。有没有普通一点的故事？好，我再给同学们一个普通的开旅馆的故事。
拥有无穷个房间的旅馆
有这样一家旅店，内设无限多个房间，所有房问都住满了客人。这时有一位绝对VIP的客人光临，必须给安排个房间。怎么办？脑筋急转弯开始！同学们又感觉到葛军老师支配的恐怖了吗？
“没问题！”旅店老板说。
可以这样操作，把一号房间里的旅客移至二号房间，二号房间的旅客移到三号房间，以此类推，一番操作猛如虎，绝对VIP客人安安稳稳的住进了被腾空的一号房间。
老板有水平啊！那么还是这间内设无限多个房间的旅店，今天也是客满。这次，来了无穷多位绝对VIP客人！你要怎么满足客人的需求呢？我听到各位绝望的嚎叫声了……
其实很简单，把所有单号房间的旅客移到偶数号房间，如此类推，所有无穷个单号房间都腾出来了，问题又解决了。
大数学家希尔伯特
这就是德国大数学家大卫.希尔伯特关于在无穷世界里，“部分可能等于整体”的一个故事。
这时候，大家有没有觉得我们今天的主题——无穷数——是不是很有趣（烧脑）了没？
无穷数的概念以及比较方法终于我们要进入正题了。我们现在拿出纸和笔，做好一点书写几个数字的准备，就可以正式进入烧脑部分的旅程。
现实中存在着一些很大很大的数，它们比我们所能写出的无论多长的数都还要大。例如，“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”，它们就是无穷大。
无穷数的概念
接下来，我们要学会比较上面两个无穷大的方法，看看哪个“更大些”！
这不是开玩笑，请记住这个名字——康托尔，他是“无穷大数算术”的奠基人，我们今天用的方法，就是他发明的。
当我们要比较几个无穷大的数的大小时，最严重的问题是这些数既不能读出来，也无法写完整，简直无从入手对不对。
康托尔所提出的解决方法堪称粗暴，给两组无穷大数列中的各个数一一配对就成！如果最后两组数能一一配对完成，它们就相等；如果其中一组有些数没有配对出去，那它就比另一组要大（或称为高阶）。
实战开始有了上面这个思维武器，我们就来回答 “所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”哪个更大？
在证明这个问题前，我们得稍稍绕个弯，先证明“所有如7/8或11/9这样分数的数量”和“所有整数的数量”相等这个事实。我们先把所有分数按照一定规则顺序组合起来，先写下分子与分母关联为1 1的分数，这样的分数只有一个1/1；然后写下分子与分母关联为1 2 的分数，即1/2和2/1；再往下是分母关联为1 2 3即1/3、2/2、3/1，以此类推，我们可以得到一个无穷的分数数列，它包括了所有的分数。现在，把这个数列与整数数列一一对应。可见，它们的数目是相等的。详细可见下表：
整数与分数之间的一一对应关系图，我自己画的图
好，同学们擦把汗吧，第一个难点攻克，我们继续出发！
我们进入正题，先把一条线的长度取为1cm长，这样方便分解计算很理解。现在线上的每个几何点我们都可以用小于1的无穷小数形式表示，例如：0.7568…或者0.6589…；因此我们将题目转化为 “所有整数的个数”和“所有无穷小数的个数”的比较。
这时候请大家插入一段中学课堂的回忆，所有普通的分数都可以转化为一个无限循环小数，例如：
1/3=0.333333333；8/7=1.14285714285714；7/13=0.5384615384615；等等。我就不证明了，除非你中学数学是体育老师教的。
我们刚刚证明完毕了所有的分数（循环小数）和所有整数的数量是相等的。那么就可以推理出，所有循环小数的数量和所有整数的数量就是相等的。但是一条线上的几何点，并不一定由一个循环小数来表示，其中绝大部分是由非循环无限小数来表示。在这种情况下，所有整数的一一配对工作宣告失败，因为线段仍富余大量的点！
由此可知，一条线上的所有几何点，是远远大于所有整数的个数。
结语通过上述学习，同学们还可以很轻松的得推理出来，以下结论（推不出来的就用纸和笔记录吧！）：
线、面、体上所有的几何点的数量是大于所有整数、分数的数量；
所有几何曲线的数量又大于线、面、体上所有的几何点的数量。
数学与生活
来到这里，是不是有一种难以言喻的清爽啊？（作者还有完没完啊！）解出难题总让人高兴对不。这总比老是重复无聊透顶的网络冷笑话强吧？一点小小的思维训练，绝对能让你提升一个层次，成为脑筋急转弯之王！
同学们对于数学上还有什么有趣话题的话，可以留言给我，一起讨论。
我是猫先生，感谢阅读。
