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神奇数学知识点(大数与无穷之美)

神奇数学知识点(大数与无穷之美)同学们这时候要起哄了,周总理天纵英才,我自惭形秽也心甘情愿。有没有普通一点的故事?好,我再给同学们一个普通的开旅馆的故事。可见——数学学不好,总理当不了,诚不欺我也。第一套人民币话说新中国建国不久,一个西方记者问周总理:“请问,中国人民银行有多少资金?”周总理委婉地说:“18元8角8分。”记者瞬间懵逼,众人皆不解其意,周总理微微一笑,“中国人民银行发行的面额为10元、5元、2元、 l元、5角、2角、 l角、5分、2分、1分的10种主辅人民币,合计为18元8角8分。” 周总理这番应答,在今天读起来,我还必须写个“服”字!并献上我的膝盖。一个人,如果不具备 “大数”以及“列举法”数学逻辑,这种精妙绝伦的应答,是绝对不可能做到的。

2019年的高考刚刚落幕,各种媒体关于考题的热议,火力最集中的就是——数学;太难、烧脑、哭晕都是大家热搜的标签。传说中的葛军老师都不得不亲自发表声明,表示不再愿意为高考考生的哀怨而背锅了——题目确实不简单,但出题的人不是我(迷雾之笑脸)!

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(1)

大家好,我是葛.灭霸.军

反正高考已经完事了,我们聊点轻松的,先讲讲数学在现实生活中的应用吧,再给大家一个重要的知识点(吹牛储备点)——无穷数的大小比较方法,保管足够震慑一般吃瓜群众,让大家成为喝酒唱K时玩脑筋急转弯的一股清流。

开始前,我们先来讲两个老故事热热身。

周总理的18.88块人民币

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(2)

第一套人民币

话说新中国建国不久,一个西方记者问周总理:“请问,中国人民银行有多少资金?”周总理委婉地说:“18元8角8分。”记者瞬间懵逼,众人皆不解其意,周总理微微一笑,“中国人民银行发行的面额为10元、5元、2元、 l元、5角、2角、 l角、5分、2分、1分的10种主辅人民币,合计为18元8角8分。”

周总理这番应答,在今天读起来,我还必须写个“服”字!并献上我的膝盖。一个人,如果不具备 “大数”以及“列举法”数学逻辑,这种精妙绝伦的应答,是绝对不可能做到的。

可见——数学学不好,总理当不了,诚不欺我也。

无穷数的房间分配

同学们这时候要起哄了,周总理天纵英才,我自惭形秽也心甘情愿。有没有普通一点的故事?好,我再给同学们一个普通的开旅馆的故事。

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(3)

拥有无穷个房间的旅馆

有这样一家旅店,内设无限多个房间,所有房问都住满了客人。这时有一位绝对VIP的客人光临,必须给安排个房间。怎么办?脑筋急转弯开始!同学们又感觉到葛军老师支配的恐怖了吗?

“没问题!”旅店老板说。

可以这样操作,把一号房间里的旅客移至二号房间,二号房间的旅客移到三号房间,以此类推,一番操作猛如虎,绝对VIP客人安安稳稳的住进了被腾空的一号房间。

老板有水平啊!那么还是这间内设无限多个房间的旅店,今天也是客满。这次,来了无穷多位绝对VIP客人!你要怎么满足客人的需求呢?我听到各位绝望的嚎叫声了……

其实很简单,把所有单号房间的旅客移到偶数号房间,如此类推,所有无穷个单号房间都腾出来了,问题又解决了。

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(4)

大数学家希尔伯特

这就是德国大数学家大卫.希尔伯特关于在无穷世界里,“部分可能等于整体”的一个故事。

这时候,大家有没有觉得我们今天的主题——无穷数——是不是很有趣(烧脑)了没?

无穷数的概念以及比较方法

终于我们要进入正题了。我们现在拿出纸和笔,做好一点书写几个数字的准备,就可以正式进入烧脑部分的旅程。

现实中存在着一些很大很大的数,它们比我们所能写出的无论多长的数都还要大。例如,“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”,它们就是无穷大。

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(5)

无穷数的概念

接下来,我们要学会比较上面两个无穷大的方法,看看哪个“更大些”!

这不是开玩笑,请记住这个名字——康托尔,他是“无穷大数算术”的奠基人,我们今天用的方法,就是他发明的。

当我们要比较几个无穷大的数的大小时,最严重的问题是这些数既不能读出来,也无法写完整,简直无从入手对不对。

康托尔所提出的解决方法堪称粗暴,给两组无穷大数列中的各个数一一配对就成!如果最后两组数能一一配对完成,它们就相等;如果其中一组有些数没有配对出去,那它就比另一组要大(或称为高阶)。

实战开始

有了上面这个思维武器,我们就来回答 “所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”哪个更大?

在证明这个问题前,我们得稍稍绕个弯,先证明“所有如7/8或11/9这样分数的数量”和“所有整数的数量”相等这个事实。我们先把所有分数按照一定规则顺序组合起来,先写下分子与分母关联为1 1的分数,这样的分数只有一个1/1;然后写下分子与分母关联为1 2 的分数,即1/2和2/1;再往下是分母关联为1 2 3即1/3、2/2、3/1,以此类推,我们可以得到一个无穷的分数数列,它包括了所有的分数。现在,把这个数列与整数数列一一对应。可见,它们的数目是相等的。详细可见下表:

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(6)

整数与分数之间的一一对应关系图,我自己画的图

好,同学们擦把汗吧,第一个难点攻克,我们继续出发!

我们进入正题,先把一条线的长度取为1cm长,这样方便分解计算很理解。现在线上的每个几何点我们都可以用小于1的无穷小数形式表示,例如:0.7568…或者0.6589…;因此我们将题目转化为 “所有整数的个数”和“所有无穷小数的个数”的比较。

这时候请大家插入一段中学课堂的回忆,所有普通的分数都可以转化为一个无限循环小数,例如:

1/3=0.333333333;8/7=1.14285714285714;7/13=0.5384615384615;等等。我就不证明了,除非你中学数学是体育老师教的。

我们刚刚证明完毕了所有的分数(循环小数)和所有整数的数量是相等的。那么就可以推理出,所有循环小数的数量和所有整数的数量就是相等的。但是一条线上的几何点,并不一定由一个循环小数来表示,其中绝大部分是由非循环无限小数来表示。在这种情况下,所有整数的一一配对工作宣告失败,因为线段仍富余大量的点!

由此可知,一条线上的所有几何点,是远远大于所有整数的个数。

结语

通过上述学习,同学们还可以很轻松的得推理出来,以下结论(推不出来的就用纸和笔记录吧!):

线、面、体上所有的几何点的数量是大于所有整数、分数的数量;

所有几何曲线的数量又大于线、面、体上所有的几何点的数量。

神奇数学知识点(大数与无穷之美)(7)

数学与生活

来到这里,是不是有一种难以言喻的清爽啊?(作者还有完没完啊!)解出难题总让人高兴对不。这总比老是重复无聊透顶的网络冷笑话强吧?一点小小的思维训练,绝对能让你提升一个层次,成为脑筋急转弯之王!

同学们对于数学上还有什么有趣话题的话,可以留言给我,一起讨论。

我是猫先生,感谢阅读。

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