莱布尼茨公式在微分上的运用（莱布尼茨在数学及数理逻辑上的贡献）

莱布尼茨公式在微分上的运用（莱布尼茨在数学及数理逻辑上的贡献）(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和。 有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论。用他自己的话说就 是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”。根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在 1673 年建立起特征三角 形思想的。他将图 1 中特征三角形的斜边 PQ 用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形如图 2。 (1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比。通过考虑图 1 中三角形△PQR 和△STU，发现△PQR∽△STU， 从而有 dy/dx=Tu/Su。也就是说，曲线 y 上过 T 点的切线的斜率是 dy/dx。 初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到 B．卡瓦列里、I．巴罗、B．帕斯卡、J． 沃利斯的工作。于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线 所围图形的面积、立体图形

在数学上的贡献

1.微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”一文，讨论了平方数序列 0，1，4，9 16，… 的性质，例如它的第一阶差为 1，3，5，7，…， 第二阶差则恒等于 2，2，2，…等。他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失， 等等。同时他还发现，如果原来的序列是从 0 开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前 5 项的第一阶差之和为 1＋3 ＋5 7=16，即序列的第 5 项。他用 X 表示序列中项的次序，用 Y 表示这 一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽。“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。

1672 年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目： 求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数和

莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：

初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到 B．卡瓦列里、I．巴罗、B．帕斯卡、J． 沃利斯的工作。于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线 所围图形的面积、立体图形体积等问题。1674 年，他学习 R．笛卡儿几何学，同时对代数性发生了兴趣。这一时期，他检索了已有的数学文献。

对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的 基础上提出了一个普遍方法。这个方法的核心是特征三角形 (characteristic triangle)。在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形 的基础上，他建立了由 dx，dy 和 PQ(弦)组成的特征三角形。其中 dx，dy 的意义是这样的：在他 1666 年“论组合术”中所考虑的序列中，用 dx 表示相邻的序数之差，dy 表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干 dx，dy，于是过渡到了任意函数的 dx，dy。特征三角形的两条边就是任意函数的 dx，dy；而 PQ 则是“P 和 Q 之间的曲线，而且是 T 点的切线的一部分”。如图 1，T 是曲线 y=f(x)上的一点，dx，dy 分别是 横坐标、纵坐标的差值。

利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题：

(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比。通过考虑图 1 中三角形△PQR 和△STU，发现△PQR∽△STU， 从而有 dy/dx=Tu/Su。也就是说，曲线 y 上过 T 点的切线的斜率是 dy/dx。

(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和。 有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论。用他自己的话说就 是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”。根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在 1673 年建立起特征三角 形思想的。他将图 1 中特征三角形的斜边 PQ 用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形如图 2。

利用特征三角形，莱布尼茨早在 1673 年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式：

这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积。1673—1674 年，他给出了求一条曲线 y=y(x)绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的表面积 A 的公式：

同时，他还给出了曲线长度公式：

在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成， 面由无穷多条线构成”思想的影响，认为曲线下的面积是无穷多的小矩形 之和。1675 年 10 月 29 日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫” 是 Sum 和)的第一个字母“s”的拉长)，用∫ydx 表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式:

1676 年 11 月，他得出了公式:

其中 n 是整数或分数(n≠-1)。 莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的。

由于研究巴罗的著作，以及引入特征三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程。在 1675 年 10 月 29 日的手稿中，他就注意到，面积被微分时必定给出长度， 因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系， 认识到要从 y 回到 dy，必须做出 y 的微差或者取 y 的微分。经过这种不充分的讨论，他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆。这样， 莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系。 莱布尼茨于 1675—1676 年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式) ：

A为曲线 f 下的图形的面积，图 3。

莱布尼茨于 1693 年给出了这个定理的证明。以前，微分和积分作为两种数学 运算、两类数学问题，是分别地加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的。虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系， 然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接微分和积分是互逆的两种运算。而这正是建立微积分学的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。

莱布尼茨于 1684 年 10 月发表在《教师学报》上的论文，题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”，在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献。 早在 1677 年 7 月 11 日前后及 11 月左右，莱布尼茨明确定义了 dy 为函数微分，给出了 dy 的演算规则：如果 a 是给定的常数，则 da=0，dax=adx； 加法和减法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy dw＋dx； 乘法 y=vx，dy=vdx xdv和除法

在 1676—1677 年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线 v=v(x)，当 dv 与 dx 之比为无穷大时，切线垂直于坐 标轴(x 轴)。当 dv 与 dx 之比等于 0 时，切线平行于 x 轴，当 dv=dx≠0 时，则切线与坐标轴成 45°角，他指出，对于曲线 v，当 dv=0 时，“在 这个位置的 v，明显地就是极大值(或极小值)”，他详细讨论了当 dv＜0， 而变成 dv=0 后又 dv＜0 时取极大值，反之则取极小值的情形。他还给出 了拐点—曲线的凹凸情况发生变化的条件。以后，莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)。1686 年，给出了对数函数，指数函数的微商。

他引入了 n阶微分的符号，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：

莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在 1686 年 5 月发表 在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”。同年，他引入了空间曲线的“密切”这一术语，并给出了曲率ρ公式：

其中R为曲率半径。1692 年和 1694 年，他给出了求一族曲线 f(x，y，α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在

中消去α。实际上，用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、 莱布尼茨等)那里已经开始了。切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的。

2.无穷级数

在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效。因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分。有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)。

在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式(图 4)：

1673 年左右，他独立地得到了 sinx，cosx 和 arctgx 等函数的无穷 级数展开式。还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展 开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了。 他经常利用级数展开式研究超越函数。有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式。

不仅如此，根据无穷级数展开式，他还得到了如下的式子：

误的。直到 1734—1735 年，L．欧拉才得到：

在 1713 年 10 月 25 日写给约翰·伯努利的信中，莱布尼莱还提出了“莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了，在当时他对级数的认识还相当混乱。

3.微分方程

微分方程在微积分创立之初就为人们所关注。1693 年，莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx，dy)的函数。在微分方程方面， 他进行了一系列工作，其中有些工作是十分独特的。 1691 年，他提出了常微分方程的分离变量法，解决了形如

型方程的求解问题。1694 年，他证明了把一阶线性常微分方程 y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法，他的方法使用了因变量替换．同时，他还给出了(y ′)2 p(x)y′＋q(x)=0 的解法。1694 年，他和约翰·伯努利引进了找等 交曲线或曲线族的问题，并求出了一些特殊问题的解。

通过求解微分方程，莱布尼茨解决了许多具体问题。例如，1686 年， 他解决了这样的问题：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动， 都用相等的时间，而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)。他指出，

证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了许多超越函数的基本性质。此外，他还考虑过概率方程。这一时期，他还求出了十分重要的曳物线方程：

1691 年，他给出了自达·芬奇时代就考虑过的悬链线 (catenary，这个名称是莱布尼茨给出的)方程为

1696 年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题： 求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一质点沿这条曲线从给定点 P1下滑所用的时间最短(图 5)。

其中摩擦和空气阻力 都忽略。 这是约翰·伯努利向全欧洲数学家发出的挑战。1697 年，莱布尼茨 和 I．牛顿、G．F．A．洛比达、约翰·伯努利分别解决了最速降线问题，指出这是由方程

表示的上凹的旋轮线，并由此开始了变分法的研究。

4.数学符号、代数

莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明 了一套适用的符号系统。1675 年引入 dx 表示 x 的微分，“∫”表示积分， ddv，dddy 表示二阶、三阶微分。1695 年左右使用 dm n表示 m 阶微分。他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号， 常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号。他创设的符号还有

此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等。很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关。他还引入了“函数”(function)、“常量” (constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语。 在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论了 负数、复数的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论。在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数。

用一般的复数表示。他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的 中介。

在 1678 年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究， 对消元法从理论上进行了探讨。在1693 年 4 月 28 日致洛比达的信中他提 出了行列式概念：“我引进方程：

此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所 属的字母(未知数)。”这样，他创设了采用两个数码的系数记号，为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具。

二进位制

莱布尼茨发明二进位制的时间，大约是在 1672—1676 年的巴黎时期。1679 年 3 月 15 日，莱布尼茨写了题为“二进位算术”的论文。文中对二进位制进行了相当充分的讨论，与十进位制进行了比较：

给出了将二进位数改写成十进位制数的法则： 1011000(二进位制)写成十进位制数就是

下面就是 1679 年 3 月 15 日手稿的一页(见 183 页)。

莱布尼茨不仅完整地解决了二进位制的表示问题，而且给出了正确的 二进位制加法与乘法规则。例如，他给出以下这类实例：

1695 年 5 月莱布尼茨与鲁道夫·奥古斯特大公的一次谈话中，大公对他的二进位制非常感兴趣，认为一切数都可由 0 与 1 创造出来这一点，为基督教《圣经》所讲的创世记提供了依据。这是因为唯一完美的上帝是从无到有创造了世界，这与一切数的根源来自 0 与 1 的这种体系是对应的。莱布尼茨由此激起热情，试图以大公的这一想法来争取人们对他的二进位制的关注。1697 年他在致大公的信函中，就将他创造设计的象征二进位制的纪念章图章当作新年礼品奉献给大公。纪念章正面是大公图象，背面的设计是这样的(见图 7)：水面上笼罩着一片 黑暗，顶部光芒四射——象征创世的故事；中间排列着二进位、十进位制 数字对照表，两侧是加法与乘法的实例。

莱布尼茨希望能用二进位制证明圆周率π的超越性。

1701 年，莱布尼茨将自己的二进制数表给了法国在中国的传教士白晋，同时又将自己关于二进制的论文送交巴黎科学院，但要求暂不发表。同年 11 月白晋把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位两个图给了莱布尼茨。莱布尼茨对白晋提供的材料欣慰异常，发现中国古老的易图可以解释成 0—63 的二进制数表。莱布尼茨因为从二进制数学理解了六十四卦图(邵雍的六十四卦方圆图，图 8)而高兴地说：“几千年来不能很好被理解的奥秘由我理解了，应该让我加入中国籍吧！”1703 年，他将修改补充的论文“关于仅用 0 与 1 两个记号的二进制算术的说明，并附其应用以及据此解释古代中国伏羲图的探讨”再送巴黎科学院，要求公开发表。自此二进制公之于众了。

根据上述历史事实，表明莱布尼茨并不是受易图的启发而发明二进制的，而是他发现了易图结构可以用二进制数学予以解释。应该说，莱布尼茨的二进制数学能被用来理解古老的中国文化。自他发现了二者之间的这种关系后，在世界范围内兴起了对易学的数理研究，使人们对易学的兴趣日增。

莱布尼茨所进行的计算机设计，程序自动化、程序设计的思想，再加 上二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。 尽管莱布尼茨本人为计算机的设计、二进制的发明感到自豪，但他却没有将二进制用于计算机，没有使二者结合起来。在当时条件下，一个二 进位制的机器只会增加技术上的困难，只有随着电子技术的发展，人们才 能将二者有效地结合起来。那种认为他是为计算机而引进二进位制的说法 是违背历史事实的。

逻辑学

莱布尼茨的逻辑学研究包括两个方面：数理逻辑与形式逻辑。

数理逻辑 莱布尼茨决心构造一门基本学科，这门学科在某些方面像数学，但也包括传统逻辑中一些尚未发展的研究内容。他注意到了传统逻辑与数学的共性，发现逻辑及其词项、命题和三段论与代数中的字母、方程式和变换，具有某种形式上的相似，因此他决心把逻辑表示成一种演算， 这种演算研究非数量的抽象关系或形式关系，他曾称之为普遍数学。他希望建立一种哲学语言或普遍语言，这种语言不仅有助于思想交流，而且有利于思想本身。莱布尼茨力图发明一种对概念进行演算的理论，使得概念也能象数一样进行代数演算。

1679 年，莱布尼茨开始进行了这方面的研究，他的思想是：每一个简单的词项用一个素数表示，每一个合成词项用素数乘积来表示。如用 3 表示“能思维的”，7表示动物，人是能思维的动物则可用 21表示，写成 21=3.7。一个全称肯定命题，如果主项的数能被谓项的数整除，则该命题为真。1686 年，莱布尼茨发展了关于概念相等和概念包含的理论，其中引入了词项 a，b，c，…，运算符号—(non，表示“非”)。四个关系利用这种演算，他成功地将亚里士多德的四种类型的一般命题，表示 成了符号公式形式，从而使得用符号表示逻辑命题成为可能。他所考虑的 方案和表达方式是：

莱布尼茨认为，有可能构造一种符号系统，这种系统可以作内涵的解释也可以作外延的解释。1690 年他已经引入了概念的加、减法，用以表 示逻辑概念演算及逆运算。他用

表示逆运算，例如 A—B=C，当且仅当 A=B＋C，且 B 和 C 没有共同的东西。

意义。以 此为基础，他建立了一套全新的理论体系。他的体系要点主要是公式及一 套关于词项、命题的定义与演算规则，如 A=B 的定义：词项是同一的或一 致的，就是说它们能在任何地方，以一个代之以另外一个而不改变任何命 题的真值。A=B 表示 A 和 B 是同一的。

这种体系在逻辑上是从未有过的，直到约一个世纪以后才由 G．布尔重新给出。可惜的是，莱布尼茨没有发展和写出系统的著作，只留下了大批手稿，其中还有许多是断简残篇，但 D．希尔伯特依然说：“数理逻辑的思想首先是莱布尼茨明显说出的。”而这种数理逻辑还仅仅只是莱布尼茨符号语言的一部分。 莱布尼茨符号语言的理想是，使一切推理过程、思维过程、争论过程都像数学一样能够计算，甚至能够交给机器完成。为此，他做了很多工作。

形式逻辑 莱布尼茨在形式逻辑方面的主要工作是，关于判断的分析理论，在此基础上的复合概念理论和关于偶然命题的理论，以及“充足理由律”的提出。 他不相信一切论证都可以纳入三段论式，因为他了解到条件论证和析 取论证不能还原为三段论形式。对于形式证明，他承认经院哲学争论中使 用三段论可能堕落为蠢笨迂腐的学究，但他认为不能没有形式化，否则就会丧失严格性。但对亚里士多德的推崇妨碍了他在这方面取得更大的成就。 区分和研究两类真理：理性的真理(必然性命题)与事实的真理(偶然 性命题)是莱布尼茨整个科学思想体系特别是他的哲学认识论的核心内 容。从逻辑方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它们的反面是不可能的，事实的真理是偶然的， 它们的反面是可能的。”他又认为推理是建立在两大原则上的：(1)矛盾原则，凭着这个原则，我们判定包含矛盾者为假，与假的相对立和相矛盾 者为真；(2)充足理由原则，凭着这个原则，任何一件事如果是真实的或实在的，任何一个陈述如果是真的，就必须有一个为什么这样而不那样的充足理由，也许这些理由常常不知道。因此他在逻辑学中引入了“充足理由律”，使之成为与传统的同一律、矛盾律、排中律相并列的一条基本思维定律。