从长方形面积公式看万物相生的关系（从长方形面积公式看万物相生的关系）

从长方形面积公式看万物相生的关系（从长方形面积公式看万物相生的关系）平行四边形通过切补，变成长方形如图：这个应该不需要证明了。长方形面积公式有了这个公式，我们就可以推导出平行四边形的面积公式。

“道生一，一生二，二生三，三生万物”

这是老子在两千多年前说出的一句至理名言，其中包含了无穷的智慧。在我多年来学习数学，研究数学的过程中越来越觉得，数学的发展不正是1生2 2生3 3生万物的过程吗？

就拿最简单的小学几何来说，长方形的面积=底×高，从这个面积公式一步一步衍生下去，会发现，几乎所有图形的面积公式都可以由这个公式得到。所以，我今天想说的是：

长方形是所有平面图形之源

我们仅从平面图形面积计算公式的关系来探究一下这句话的正误。

我们都知道，长方形的面积公式 面积=长×宽 S=ab

这个应该不需要证明了。

长方形面积公式

有了这个公式，我们就可以推导出平行四边形的面积公式。

如图：

平行四边形通过切补，变成长方形

平行四边形通过简单的切补变形，就变成一个长方形。对任意一个平行四边形都可以做这个变换，因此，我们得到平行四边形的面积公式：

平行四边形面积=底×高 S=ah

有了平行四边形的面积公式，我们可以进一步推导出三角形面积公式。

如图：

平行四边形分成两个全等三角形

容易得出，任意平行四边形可以分割成完全相等的两个三角形，所以任意三角形面积都可以表示成一个平行四边形面积的一半。

所以三角形面积=底×高 ÷2 S=1/2ah

知道三角形面积公式，我们来看梯形。

如图

梯形可分割为两个等高的三角形

对任意梯形，可以分割成两个等高的三角形，这两个三角形的面积分别为1/2ah，1/2bh。两个三角形面积相加得到梯形面积=1/2（a b）h

即梯形面积=（上底 下底）×高÷2。

至此，利用长方形面积公式我们得到了平行四边形，三角形，梯形的面积公式。加上正方形（特殊的长方形）面积=边长×边长，小学阶段常规直线图形的面积公式都有了。

这些公式的起源就是S=ab。

接下来，我们来看一下，曲线图形，最简单的，就是圆了。

最简单的推导圆面积的方法还是切补法，先把圆分成无数个小三角形，然后每两个三角形两两组合拼成一个长方形。

如图：

圆的分割

如图，对圆分割的次数越多，分割出来的图形越接近三角形，拼成的图形越接近长方形。利用圆的周长等于2πr，可以看出，拼成的长方形长为πr，宽为r，所以面积为πr²。

于是我们得到圆面积公式S=πr²

万物有联系，学一要知百

到这里，我们可以初步得出结论，大部分的图形面积无论如何形式，最终落脚于长方形的面积公式S=ab。只要知道长方形面积公式，再利用一些方法，就可以计算任何图形面积。

所以这就要求我们，在学习和工作中，要找到事物之间的联系，做到学一而知百，触类而旁通，源深而流长。

限于时间和个人能力，本人能够探讨的内容有限，其中不免有偏颇谬误之处，敬请交流指正。