数学缩倍法原理（有温度的数学）

数学缩倍法原理（有温度的数学）一是“变式结构”模型（如图26—1）二是非标准的直观模型，非标准的直观模型有两个：①以“2倍”为本，建立“倍”的直观模型抓住“2倍”这一基本倍数关系，准备喜闻乐见、生动漂亮的各种不同直观材料，以丰富学生对“2倍”的直观认识。提供直观材料不仅仅是数学学习的开始，目的是为了学生进一步的抽象与概括。“2倍”的直观模型有两类：一是标准结构的直观模型：

倍的初步认识必须创设符合学生认知特点同时又能揭示倍的数学本质的活动，让学生在丰富多彩的活动中理解“倍”。

建构倍的直观模型，理解倍的本质。

有一位高年级的数学老师说：我不管你们（指低年级数学老师）是用“几个几”去讲，还是用“几份”去讲，一定要让学生建立一个正确的“倍”的模型，不要看到“倍”就乘，否则到高年级就太难纠正了。

这段话道出了许多老师的心声：低年级学习“倍”一定要建立“倍”的模型，清晰地理解“倍”的内涵，不能片面的“见倍就乘”。教学中该怎么做呢？

①以“2倍”为本，建立“倍”的直观模型

抓住“2倍”这一基本倍数关系，准备喜闻乐见、生动漂亮的各种不同直观材料，以丰富学生对“2倍”的直观认识。提供直观材料不仅仅是数学学习的开始，目的是为了学生进一步的抽象与概括。“2倍”的直观模型有两类：

一是标准结构的直观模型：

二是非标准的直观模型，非标准的直观模型有两个：

一是“变式结构”模型（如图26—1）

图26—1

二是“错误结构”模型（如图26—2）：

图26—2

由于初步认识“倍”，清晰的直观结构有助于学生第一次建立“倍”的概念。但教学中不能都是这样的“标准结构”，都是标准结构不能促进学生真正的深入思考，因此需要再一次提供“变式结构”甚至是错误的“结构”，让学生在辨析中深化对倍的认识。

有相同之处与不同之处的学习素材，才能促进学生真正的观察、发现、抽象与概括。因此教师提问：“他们收的水果一样吗？水果的个数一样吗？为什么都可以都可以说摆在下面的水果是上面水果的2倍？”以此引导学生“舍弃各种不相干的因素”，在变中抓不变。而这个“不变”，正是两个数量之间的关系——2倍，从而更为深入地揭示了现象的本质，这个本质就是新概念“倍”，实现了一次对“倍”认识上的飞跃。

在“变式结构”模型中，分两个层次处理：一是打乱了实物的排列顺序，二是隐藏了实物只出示数据（写成文本就不能展示动态过程），引导学生一步步把关注的对象从实物的比较过渡到数之间的比较，使学生真正做到“完全舍弃事物或现象的质的内容，而仅仅着眼于他们的量性特征”。由于前面学生对2倍的“形”有着较为充分的准备，因此很自然过渡到“数”，这里有效地进行了正迁移，对倍的认识从感性上升到理性。

②在“变化”中进一步认识“倍”

本部内容的变化分为两类，一是标准不变，被比较的量变化（两个量之间成正比例关系）；而是被比较的量不变，标准变化（“标准”与“倍数”成反比例关系）。

“数学抽象是对各个具体情景的一种超越。”在第一类变化中，引导学生进一步拓展认识几倍，通过不断增加小兔萝卜的份数，引导学生认识3倍、4倍……通过提问“你有什么发现”引导学生进一步抽象“小兔有这样的几份就是小狗的几倍”，归纳与整理为抽象提供了帮助。在此基础上引导学生认识较难理解“1倍”，孩子的理解自然水到渠成。

在第二类变化中，即“橘子”个数不变、“柿子”（4个、3个、2个、1个）个数变化的情况下，通过“圈一圈”的形式探究倍数发生变化的原因，感受比的标准的重要性，潜移默化的渗透反比例思想。

在两类“变化”的探讨中进一步认识到，对很多学生来说有一定困难。但由于都是借助直观模型，以及学生的“画圈”活动，学生对此也有一定理解，但不同学生之间肯定有比较大的差异。

③从直观模型到抽象数量关系

学生生活中经常会看到各种各样的数据，但大多数孩子只能看到表面的单个数据，看不到数据之间的关联，而这个关联正是学生赖以解决问题的“工具”。通过引导孩子观察数据，发现数据之间隐藏的倍数关系，引导他们透过现象发现本质。相信从此以后孩子眼中的数与数之间是相互关联的。