十二进制换算十进制（十二进制二十进制）

十二进制换算十进制（十二进制二十进制）图1-11这是从左到右按大小顺序写的，写的顺序反过来也可以。另外，要是把和换位置写也还是13545不变（见图1-12）。也就是与各个数字的书写顺序(即定位)没有关系。所以埃及的数字跟定位的原理不一样，我们今天用的定位法是从与埃及数字不同的巴比伦王国系统产生的。埃及人使用象形文字来写数字，比如13545，这个数字的写法如图1-11所示。他说把三座金字塔(见图1-8)的石头全部合起来，可以筑成高6米、厚30厘米围绕全法国的石墙。拿破仑的计算是否准确姑且不说，仅仅听这句话我们也可以估量出金字塔是怎样一个庞然大物了。图1-9相当于10，100，1000…的数字如图1-10。图1-10这样的数字达到了1000万，说明埃及这个古国一定需要这个庞大的数字。根据流传下来的记录，在一次战争中，埃及分得了12万俘虏、40万头牛和142.2万头山羊。这个数字即使多少有些夸张，可是对一个拥有大量人口、处于高度统治

1798年初夏，拿破仑率领军队远征埃及。在金字塔下，即将作战的时候，他向士兵们喊出了一句很得意的话：

“诸位，4000年保佑着你们！”

在战斗的间隙，部下的将军们登上了著名的金字塔，拿破仑没有上去，却在下面忙着计算什么。据说拿破仑这个人很喜欢计算，在打仗的时候也使用数学。在力学上把物体的质量与速度相乘叫做动量，他就仿照这个例子，把部队的人数和移动速度相乘的结果作为部队的动量来计算。骑兵部队的人数虽然少，可是移动速度快，所以动量也就大。

且说那些将军们从金字塔上下来时，拿破仑就把刚才计算的结果说给他们听。

他说把三座金字塔(见图1-8)的石头全部合起来，可以筑成高6米、厚30厘米围绕全法国的石墙。拿破仑的计算是否准确姑且不说，仅仅听这句话我们也可以估量出金字塔是怎样一个庞然大物了。

图1-9相当于10，100，1000…的数字如图1-10。

图1-10这样的数字达到了1000万，说明埃及这个古国一定需要这个庞大的数字。根据流传下来的记录，在一次战争中，埃及分得了12万俘虏、40万头牛和142.2万头山羊。这个数字即使多少有些夸张，可是对一个拥有大量人口、处于高度统治下的古代国家来说，这种程度的数字决不是难以实现的大数吧。

埃及人使用象形文字来写数字，比如13545，这个数字的写法如图1-11所示。

图1-11这是从左到右按大小顺序写的，写的顺序反过来也可以。另外，要是把和换位置写也还是13545不变（见图1-12）。也就是与各个数字的书写顺序(即定位)没有关系。所以埃及的数字跟定位的原理不一样，我们今天用的定位法是从与埃及数字不同的巴比伦王国系统产生的。

1.9　二 十 进 制

如果以一个人的手指和脚趾数为基础，就能产生二十进制。这个二十进制和十进制并列，在今天的欧洲语言，特别是在法语里留下了痕迹，在法语里现在还有这种说法：

80——quatre vingts(4个20)

90——quatre vingt dix(4个20加10)

从前是用以下十进制的数词

80——octante

90——nonante

却特意变为使用20（vingt）的二十进制，可以看出法国人相当喜欢二十进制。雨果的著作里有名为《93年》的小说，那就是Quatre vingt treize(20×4 13=93)，这对日本人来说是需要心算一下的问题。确实，这种二十进制不是面向孩子的算术，所以近来在小学里停止使用vingt，把quatre vingts代之以octante，把quatre vingt dix代之以nonante，推荐使用这些合理的数词。

但是据说现在在农村有些地方还是像从前那样使用octante和nonante。

不仅是法语，英语里也保留着score(20)这样的数词，也把“人生70”说成Three score and ten(20×3 10=70)。林肯在葛底斯堡以那句名言“人民的，依靠人民的，为了人民的政府”结尾的演说中，是以Four score and seven years ago这句话开始的，由于20×4 7=87，所以意思就是“87年前”。

可是，法语也好，英语也好，20只是10的辅助，认真完成二十进制的民族也有，例如阿伊努人就是。阿伊努语的20是hot“一齐”，意思就是两手(指)和两脚(趾)全加在一块儿。

10——wanpe

20——hot

30——wanpe-e-tu-hot(20×2－10)

40——tu-hot(20×2)

50——wanpe-e-re-hot(20×3－10)

…

别的地方不大有这样用减法的。

除了阿伊努人以外，可别忘了还有一个民族创造了完全的二十进制，那就是中美洲的玛雅族和墨西哥的阿兹特克族。玛雅族的数字如图1-13所示。

图1-13到了20，就在•的下面画上，用来表示。

这时的形状就好像是眼睛，可是下一档不是20而是18，不是400而是360。

这似乎和一年的天数有关系，作为360天来说，剩下的5天就是祭日了。

玛雅族使用的是先进的定位方法，可是后来出现的阿兹特克族却从定位法后退了，他们使用的是如图1-14所示的数字。

图1-14 20是一面旗子，但20这个单位好像还太大，于是把20分成四等份，把10或15当作辅助单位使用，如图1-15所示。

图1-15阿兹特克族的二十进制是很彻底的。他们和玛雅族一样，一个月是20天，一年是18个月，20个部落聚在一起形成一个大部落。

1.10　十 二 进 制

人有5个手指，基于这样一个生物学的偶然事实，5，10或20就成为计算方法的基础。旧约圣经里说有一个手脚都有6个指头、总共有24个指头的巨人和大卫王打仗的事，如果是这个6指巨人创造数词，一定是十二进制。

12 进 制实际上也有人不用十进制而改用十二进制。第一个有名的例子，据说就是瑞典国王查理十二世(1682—1718)。他率领军队窜扰北欧。这个外号叫“北方的狂人”的好战国王很年轻就死去了，没有能实行十二进制。这样一个豪强的国王，为什么执意要搞十二进制呢?其理由还不太清楚，不仅因为“十二世”的十二，还一定有更合理的理由。首先想到的是12的约数很多这一事实。10的约数有4个：1，2，5，10。与此相比较，12的约数是1，2，3，4，6，12，有6个。尤其是10不能用3除尽，而12却能用3除尽，这就是它的长处。

在学者当中提倡十二进制的人是博物学家布封(1707—1788）。十二进制除了0~9的数字外，还必须有表示10和11的数字，布封用X表示10，用Z表示11。加上这两个数字就可以用与十进制相同的方法写出所有的数字。布封的生年1707可以写成ZX3，卒年1788就可以写成1050。

可是即使有查理十二世的权力和布封的博学，也不能把十二进制强加在国民头上。这是因为必须改变数词，而这一点很难办到。

话虽这么说，现在欧洲的语言和习惯上仍然保留有十二进制的痕迹。英国小学的算术教科书里印有12×12=144的十二进制的“九九”表，可是这对英国的孩子有必要吗?比如12个是1打，12打是1罗。在度量衡上也是以12进位的居多。12英寸是1英尺，12便士是1先令。英语的数词也是从one、two开始说到ten，11不是ten-one，12不是ten-two，而是eleven和twelve。追溯到最古老的词源，eleven是从哥特语的ainlif(余1)来的，twelve是从twalib(余2)来的，也仍然是以十进制为基础，但现在已经是无法区别，决不能说成ten-one，ten-two。

在这一点上日语就合理得多。掌握了合理的数词会多么有利呢?这就不得而知了。总之“九九”表很好地利用了日语数词的规律性，用欧洲语言可就非常困难了。

1.11　六 十 进 制

要是20太大的话，60就更大了。而以这更大的60为基础，把六十进制付诸实际使用的却是巴比伦王国。

巴比伦王国的六十进制现在在时间和角度的测量上仍然保留着。60秒是1分，60分是1小时，在角度上就是1度。这对于使用十进制的我们来说不太方便，可是要改变它与其说是困难的还不如说是不可能的。如果改变，那现在使用的钟表就全都没用了，刻着角度的机械也全都要返工改造。这个改革比起实行米制要困难得多。似乎不值得付出牺牲去实行。无论如何，钟表和分度器上的六十进制会永存下去。

可是六十进制为什么会在巴比伦王国产生呢？道理还不清楚，有各种各样的说法，下面一种说法似乎最说得通。巴比伦王国是由许多小的部落逐渐扩大形成的一个国家。那时有必要把各地方纷杂的度量衡统一起来。所以有很多约数的60就很方便。如十进制的国家和十二进制的国家一起组成新的国家时，如果用10或12都能除尽的数，也就是以10和12的最小公倍数60为基础的话，对两国都合适。

1.12　定位与 0 的祖先

巴比伦王国和埃及是历史上最早的城市国家，在那里文明的发达程度差不多相同，数学水平也很相近。它们掌握了100万或1000万以内的数词，知道加减乘除的计算方法，还提出了分数的想法。但是也有些不同点。

埃及在实现完整的十进制方面是先进的。巴比伦王国创立的是混杂着十进制的六十进制，因此我们得到一份不值得感谢的遗产，这就是时间与角度的六十进制。即使这么说，巴比伦王国的数学也不是在所有方面都比埃及差。巴比伦记数法的长处究竟在哪里呢？

像前面说过的那样，埃及人对于1，10，100，1000，…每一个新的单位想出一个新的文字。

可是巴比伦人分别用， 来表示1，10，100，1000意味着10×100，所以写成。我们可以认为在与之间省略了×（乘）的符号。同样，表示10×10×100=10 000，表示10×10×10×100=100 000。这虽然只是数字，但其中隐含着重要的想法。这个想法就是把尽量少的数字组合在一起来表示尽可能大的数。节约数字的想法逐渐发展，发明了0，诞生出计算用的数字，成了今天人类的共同财富。就是这些计算用的数字，按照定位的原理，仅用10个数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列，就能够表示所有的数。

埃及人为什么不节约数字呢?原因不太清楚，也许这个原因会出乎意料地出现在我们身边。埃及人能够在纸莎草纤维制成的草纸上画精巧的图画。当有必要写出相当于1000万的数字时，能够轻而易举地画出这样的图形文字。而巴比伦人却办不到，他们的纸就是黏土，笔就是在黏土上刻记号的粗陋的刮棒（见图1-16）图1-16，用刮棒充其量也就是刻出一些楔形沟。所以要像埃及人那样把1000写成等等真是太难了。巴比伦人必须想办法找窍门，用简单的楔形沟的组合写出1000，这样不就产生了吗?总而言之，也许是因为他们用粗陋的刮棒和黏土，使他们不得不节约数字吧。

可是反过来说，这件事对于数学的发展却是幸运的。实际上，从0的发明到创造计算用的数字，这一发展的线索不是联系在埃及系统，而是联系在巴比伦系统的数学上。

如果是使用方便的草纸使埃及的数学停止发展，而不方便的黏土却给巴比伦数学的发展以很好的刺激，这可以说是历史的讽刺吧。

上文节选自《数学与生活》 已获人邮图灵许可 [遇见数学] 特此表示感谢!