湍流理论数值模拟（飞艇动力学建模综述）
湍流理论数值模拟（飞艇动力学建模综述）能量法早在齐柏林飞艇时代就提出来计算飞艇湍流响应。Taylor（是那个鼎鼎大名的Geoffrey Ingram Taylor）根据流体动能推导了浸没在非均匀势流中的小型静止物体上的力。在风洞实验中，观察到飞艇由于大气流动的空间梯度受到水平方向的力：有两种理论方法将湍流响应考虑在飞艇动力学模型中。首先是能量法。认为湍流气体无粘，流动所带来的力和力矩可根据气体动能推导得到。能量法关注气流运动和附加质量气动项。因此，能量法可看作是之前势流理论中通过克希霍夫方程得到的附加质量力和力矩的进一步扩展。式中，f为频率（Hz）。对于裸艇体，俯仰力矩响应没有峰值，但法向力在3.9m-1（1.2ft-1）时出现峰值。尾翼的存在大大的改变了湍流的气动响应。在裸艇体上出现的法向力响应峰值消失，而俯仰力矩响应峰值出现了。图1 法向力和俯仰力矩对大气湍流的响应能量法
本期继续介绍Ryerson University的Yuwen Li于2010年发表在《Progress in Aerospace Sciences》题为“Airship dynamics modeling: A literature review”的论文。文章旨在梳理飞艇动力学建模中的主要问题，总结处理这些问题所积累的理论，经验或数值方法。共分为5个部分，依次为气动，飞行动力学，结构柔性，大气湍流影响和副气囊。本期接着上期介绍飞艇受到的大气湍流扰动影响。浮空器由于尺寸大重量轻，易受到大气湍流影响。需在飞艇动力学建模中考虑大气湍流的影响。本文不关注描述大气湍流的各种数学模型，而是关注飞艇对湍流扰动的响应。
实验研究
通过飞行试验得到飞艇对大气湍流响应的定量研究是困难的。因为这需要同时测量飞艇运动和湍流风场数据。在风洞试验中，可以模拟湍流以及飞艇气动响应，但这类实验数据也很少。Lagrange(1984，不是Joseph-Louis Lagrange)对0.76m的缩比飞艇在垂直湍流下的气动力开展了实验研究。通过气流流过网格来产生各项同性的随机湍流。湍流迎角定义为：
其中wg是垂直阵风速度，V是空速。湍流的功率谱密度输入设为Φα，飞艇相应的法向力系数ΦCN，飞艇俯仰力矩系数ΦCM。所形成的传递函数为ΦCN/Φα和ΦCM/Φα，分别对应裸艇体和完整的艇身-尾翼飞艇，曲线绘制如图1所示。其中横坐标为波数，表示为：
式中，f为频率（Hz）。对于裸艇体，俯仰力矩响应没有峰值，但法向力在3.9m-1（1.2ft-1）时出现峰值。尾翼的存在大大的改变了湍流的气动响应。在裸艇体上出现的法向力响应峰值消失，而俯仰力矩响应峰值出现了。
图1 法向力和俯仰力矩对大气湍流的响应
能量法
有两种理论方法将湍流响应考虑在飞艇动力学模型中。首先是能量法。认为湍流气体无粘，流动所带来的力和力矩可根据气体动能推导得到。能量法关注气流运动和附加质量气动项。因此，能量法可看作是之前势流理论中通过克希霍夫方程得到的附加质量力和力矩的进一步扩展。
能量法早在齐柏林飞艇时代就提出来计算飞艇湍流响应。Taylor（是那个鼎鼎大名的Geoffrey Ingram Taylor）根据流体动能推导了浸没在非均匀势流中的小型静止物体上的力。在风洞实验中，观察到飞艇由于大气流动的空间梯度受到水平方向的力：
其中，uf是风洞在飞艇体心位置的原本流动速度，m’是飞艇所占大气的质量，k1是沿x轴的平移附加质量因子。上式说明附加质量项耦合了流动速度的空间梯度。
关于在非均匀势流中作用在物体上的流体动力在船舶水动力学中也有涉及。Newman进一步计入非稳定流场的加速度和物体在x方向的移动速度u，将上式改写为：
Thomasson提出另一套6-DOF刚体飞行器在非稳定和非均与流体的运动方程。他假设飞行器足够小以至于流体流过物体后变化不大。则非均与流体速度分布可通过在体坐标系原点的一阶泰勒展开近似表示：
其中vf是体心位置的流动速度，r是感兴趣点距离体心的位置，Φv表示了非均匀流速的空间梯度。进而Thomasson推导了物体存在后的流体动能变化量，并使用Lagrange方程得到了物体运动方程。那么流体运动带来的作用力表示为：
上式在x方向的力和Newman计算结果一致。当物体静止并且流体稳态流动时，即退化为风洞试验得到的作用力公式。将势流理论中的气动力和以上受到非均匀流场气动力叠加得到：
换句话说，可以直接在势流理论中将dv替换为dv-dvf，将v替换为v-vf，并且加上与m’和Φv有关的项就好。
对于势流产生的气动力矩，Thomasson得到：
同样地，可以直接在势流理论中将dv替换为dv-dvf，将v替换为v-vf就好。
Azinheira使用牛顿矢量力学方法来考虑飞艇受到的湍流影响，包括湍流的线速度vf和线加速度，角速度wf和角加速度。角速度wf表示了气流的流动涡度，可通过梯度矩阵Φv得到。空间梯度Φv可以分解为对称项和反对称项。对称项代表无旋应变率，反对称项代表流体涡度。Azinheira获得的非均匀流场气动力和Thomasson结果一致。但力矩项比Thomasson多了关于流动角速度的项。
其中J’是所占空气的惯性张量。另外，Azinheira还分析了定常风场对飞艇在低速流场下的纵向和横向稳定模态的影响。在纵向风影响下，飞艇俯仰振荡模态频率减小，滚转振荡模态频率随着纵向风速增加而增加。在横向风影响下，横向模态对风速不敏感，但俯仰振荡随着横向风增大有更小的阻尼比和更低的频率。
以上所介绍的处理湍流响应的能量方法有着以下弊端。
（1）粘性气动力学和尾翼带来的升力和阻力影响并没有考虑；
（2）以上是基于小物体假设，运用到尺寸较庞大的飞艇时还值得商榷；
（3）以上得到的是感兴趣点的力和力矩，不能提供湍流气动力分布特点。
细长体理论
第二种方法基于细长体理论。该方法计算飞艇各个截面受到湍流影响的气动力，然后通过对各截面积分得到总湍流气动力和力矩。该方法可看作是前面气动部分所提出的Munk方程的扩展。截面在湍流下的气动力可通过该平面的当地湍流流动特点计算。相比之前的不考虑粘性能量法，细长体理论能得到更广义的受力模型（可以考虑粘性）。
如图2所示，湍流风速可通过一个平均风速和任意小的阵风扰动的叠加，即：
图2 受到垂直方向湍流的飞艇
Calligeros计算了具有前向速度V的飞艇在通过垂直阵风wg场下受到的法向力。在局部截面上，法向力有：
但以上结果和风洞实验相比误差较大，因为飞艇并不是严格上的细长条，而且上式也没有包括附加质量项。
考虑流体粘性后，DeLaurier和Layon进一步扩展气动部分得到的艇身气动力公式：
相比之前的稳态气动力公式，粘性项中包含了阵风迎角αg。进一步，DeLaurier计算了随机阵风引起的飞艇气动力，速度，弯曲力矩和剪切力矩响应。他发现法向力峰值和俯仰力矩峰值在阵风影响下分别出现在0.033m-1（0.01ft-1）和0.016m-1（0.005ft-1）。并且飞艇运动响应决定于舵面的控制增益，意味着湍流影响应该在控制器设计中有所体现。最后，随机阵风对飞艇弯曲力矩和剪切力矩影响并不大。
相比能量法，细长体理论可以更为方便，准确地描述湍流扰动场。而且，由于湍流是通过法向力分布与飞艇运动耦合，细长体方法可以得到剪切力和弯曲力矩分布。
另外，以上方法是假设湍流场不随时间发生变化，但这对飞机这种高动态的飞行器是可以接受的，对于飞艇，由于其速度低，大气湍流随时间会发生变化。因此，在计算力和力矩时，需要考虑流动加速度项。
总结
能量法计算湍流影响需要假设无粘，通过在某一点的流体速度，加速度和空间梯度计算气动力和力矩。细长体方法是将流速分解为平均流速和空间分布的阵风叠加，计算飞艇截面在阵风迎角下的气动受力。细长体方法可以用在大型飞艇，但需要考虑流体加速度项。如果硬是要使用能量方法，可以将把飞艇切片，并使用多点湍流模型来描述湍流场在各个切片上的速度和加速度。最后是将各片力和力矩叠加得到。
附录
另外，为方便阅读大气扰动方面论文，小编整理了以下大气扰动模型中的名词术语：
定常风（steady wind）:风速矢量不随时间变化的风模型。
常值风（constant wind）:风速矢量不随时间和空间变化的风模型。
时均风速度（mean wind velocity）:大气运动随时间变化的时均值。
风梯度（wind gradient）：风速的变化量，表示为：
常值风梯度（constant wind gradient）:参考空间内任一点上的风梯度都相同的风模型。
突风（gust）:导致飞行器空速V变化的，确定的且快速变化的风速，分为纵向突风，横向突风和法向突风。
阶跃突风（step gust）：阶跃函数突风模型：
梯形突风（ramp gust）:单侧梯形函数突风模型：
（1-cos）阶跃突风模型：
（1-cos）脉冲突风模型：
涡（vortex）：气流绕一条轴线旋转的风模型。
兰金涡模型（Rankine vortex model）:当地气流速度在垂直于涡轴的平面上，并且与垂直于涡轴的圆相切的涡模型。
湍流（turbulence）:与时均风速度有关的，风速随机的和快速变化的风模型。
湍流波长（turbulence wave-length）:在参考方向上，湍流频谱函数的一个特定周期的长度。
湍流波数（turbulence wave number）:湍流波长的倒数。
高斯湍流模型（Guassian turbulence model）:气流坐标系中，湍流速度的时间概率分布是随机的，高斯型的，且零均值的湍流模型。
冯卡门湍流模型（von Karman turbulence model）和得莱顿湍流模型（Dryden turbulence model）:都是特殊的高斯湍流模型，比较常用。
最后贴上几幅湍流描述中的经典图片：
（1）达芬奇的手稿；
（2）梵高的《星空》；
（3）马远的《水图卷—层波叠浪》；
（4）木星的大红斑；
