伽罗瓦理论实例（伽罗瓦理论到底有多伟大）

伽罗瓦理论实例（伽罗瓦理论到底有多伟大）伽罗瓦利用置换群来描述方程根之间的对称性，这样的群后来被称作“伽罗瓦群”，进而他得到了判断方程是否根式可解的基本定理：所幸的是，在阿贝尔之后，法国天才数学家伽罗瓦（1811~1832）继承了他的思想，并进一步发展了相关理论，特别地，伽罗瓦深入研究了置换群论，彻底弄清了方程与根之间的关系，并最终形成了如今强大的伽罗瓦理论。伽罗瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿贝尔等前辈的启发下完成的，他创造性地引入了置换群、子群和正规子群等群论的概念，这些概念已经成为代数学中最重要和最基本的东西。第一个真正取得突破的数学家是来自挪威的年轻人阿贝尔（1802~1829），他发展了拉格朗日关于“根的置换”的数学思想，并且提出了“域”和“不可约多项式”的概念。利用自己的理论，阿贝尔修正了鲁菲尼的猜测，并最终严格证明了：如果一个方程有根式解，则这个表达式中的每一个根式都是方程的根和某些单位根的有理函数。利用这个重要的结

伽罗瓦理论到底有多伟大？千年数学难题直接沦为简单推论

一元二次方程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但一元三次方程的解法似乎并不广为人知，而了解四次方程解法的就更少了。当然，解三次和四次方程都是有判断法则和求根公式的，这和二次方程是类似的。那么一个自然的问题是次数高于四次的一般代数方程有没有求根公式呢？也就是能不能利用系数把解表示出来呢？

对于十六世纪的代数学而言，解三次和四次方程就是最大的难题，这一问题最终由意大利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。他们解四次方程的思想是通过变量替换获得一个三次方程，通过解这个三次方程就能获得原四次方程的解，于是很多数学家都想通过模仿这一方法来获得高次方程的根式解。欧拉，高斯，拉格朗日这样当时最伟大的数学家都做过尝试，但最终都失败了。拉格朗日甚至发表了长篇大论，详细分析了三四次方程的解法，指出这种方法不可能适用于高次方程，最后拉格朗日惊叹：“高次方程的根式解是不可能解决的数学问题之一，这是在向人类的智慧挑战！”

在拉格朗日之后，意大利数学家鲁菲尼开始猜测高次方程没有根式解，但他终其一生也没能取得突破，只是得到了猜测：

如果方程有根式解，那么这一根式必定是方程的根和单位根的有理多项式。

阿贝尔

第一个真正取得突破的数学家是来自挪威的年轻人阿贝尔（1802~1829），他发展了拉格朗日关于“根的置换”的数学思想，并且提出了“域”和“不可约多项式”的概念。利用自己的理论，阿贝尔修正了鲁菲尼的猜测，并最终严格证明了：

如果一个方程有根式解，则这个表达式中的每一个根式都是方程的根和某些单位根的有理函数。

利用这个重要的结论，阿贝尔最终证明了高于四次的一般方程没有根式解！不仅如此，阿贝尔还成功构造出了任意次数的代数可解的特殊方程，但他还是遗留了一个问题，那就是如何判断一个给定的方程是否根式可解，例如高斯曾经证明过方程X^p－1=0有根式解，其中p为素数。但天妒英才，阿贝尔在仅仅27岁之时，便因贫困交加而抱憾离世。

伽罗瓦与伽罗瓦理论

所幸的是，在阿贝尔之后，法国天才数学家伽罗瓦（1811~1832）继承了他的思想，并进一步发展了相关理论，特别地，伽罗瓦深入研究了置换群论，彻底弄清了方程与根之间的关系，并最终形成了如今强大的伽罗瓦理论。伽罗瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿贝尔等前辈的启发下完成的，他创造性地引入了置换群、子群和正规子群等群论的概念，这些概念已经成为代数学中最重要和最基本的东西。

伽罗瓦利用置换群来描述方程根之间的对称性，这样的群后来被称作“伽罗瓦群”，进而他得到了判断方程是否根式可解的基本定理：

一个方程根式可解的充要条件为：方程的伽罗瓦群为可解群。

特别地，高于四次的方程不可根式解这一结论成为了伽罗瓦理论的直接推论。这是因为n次方程的n个根组成的置换群是对称群Sn，这个对称群的极大正规子群是交错群An 但当n>4时，An是非交换的单群，因而其不是可解群，进而Sn不是可解群，故最终得到高次方程不可根式解的结论。至此，伽罗瓦彻底解决了这一几百年悬而未决的数学难题。在此之前，阿贝尔已经得到了这一结论，不过由于他没有太多群的概念，尽管创造性地使用了“域”，但还是致使证明非常冗杂而难以推广，这也是为什么阿贝尔无法对对一般方程根式可解性进行判断的原因所在。

以如今的眼光来看，“群论”无疑是解决这一问题的灵魂，而伽罗瓦就是这一理论的缔造者和开拓者。“群”的概念实际上在拉格朗日时代就有了，但拉格朗日绝对没有意识到方程根的“群”会和方程本身产生如此深刻的联系。伽罗瓦的天才之处正在于，他通过群的思想来细致描述域的特征，也就是建立了伽罗瓦群的子群与扩域的中间域之间的一一对应，从而把问题完全转化成为了群的理论。如今，群论的思想早已渗透到了各种各样的学科之中，成为了强大的数学工具。

更令人瞠目结舌当是，完成这一壮举时伽罗瓦还不到22 岁！这完全是亘古未有的数学奇迹。伽罗瓦这样的绝顶数学天才在整个人类历史上也是屈指可数的，但非常可惜的是，伽罗瓦和阿贝尔一样英年早逝 ，在22 岁的时候，伽罗瓦因卷入一场决斗而丧命，在此前一晚，他奋笔疾书，这才致使他伟大的思想不至于永远埋没。

伽罗瓦手稿 。 那么有没有求取高次方程的更好的方法呢。 由高次方程简次。 下面以X=2时为例，通过简次以后是个什么样子。 （1）。2X2=4。4X2=8。8=2^3=2X2^2。当X=2时。2X^2=8。这样，就可以把2^3=8。简次为方程2X^2一8=0。 （2）。4X2=8。8X2=16。16=2^4=4^2。这样，就可以把2^4=8。简次为方程。X=4。X^2一16=0。 （3）。2X16=32。32=2^5=4^2X2。这样，就可以把2^5=32，简次为方程。X=4。2X^2一32=0 。（4）。2X32=64。64=2^6=8^2。这样就可以把2^6=64。简次为方程X=8。X^2一64=0 根椐以上所列。就可以列出当X=2时的一个简次方程。即： X^6十x^5十X^4十X^3十X^2一124=0。可以列为：X^6。8^2十X^5。2X^4。十X^4。X^2十X^3。2X^2十X^2一124=0。这样解起就容易多了。这就是说，任意一个数的高次方，都可以化成另一个数的低次方或他的系数X的低次数而列出他的二次方的方程式。