怎样提升数学思维拓展（基于优化学生数学思维的高效课堂创建）

怎样提升数学思维拓展（基于优化学生数学思维的高效课堂创建）1 课标解读与命题趋势数学思维是数学学习的灵魂，数学思维具有高度抽象性，通过合理的教学模式进行深度挖掘，使得学生的自身数学思维和解决数学能力得以提升，实现数学知识的结构化。特别是初中学生，从具体思维向抽象思维过度的时期，往往会受到阻碍。教学中教师应通过灵动的教学设计来开启学生受阻的思维。本文以人教版八年级上册《13.3.1等腰三角形》第2课时——等腰三角形的判定为例，从课标命题分析、教学过程展示、教学思考改进三个方面来阐述。通过课前、课上、课后三个环节相扣，层次递进的教学方式来实现教学主张。教师借助“高效整合-知识迁移-精设题型”的模式，让学生实现“考点渗透-思维发散-巩固提升”的学习目标。作品编号：007【摘要】数学教学是培养学生数学思维能力的行为。课堂作为培养数学思维的场地，需要有向有序、高效整合，数学知识作为培养数学思维的载体，需要循序渐进、系统归类。本课通过等腰三角形的判定方法的研

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

基于优化学生数学思维的高效课堂创建

——以等腰三角形的判定一课为例

作者：郑林 王玉娇

作品编号：007

【摘要】数学教学是培养学生数学思维能力的行为。课堂作为培养数学思维的场地，需要有向有序、高效整合，数学知识作为培养数学思维的载体，需要循序渐进、系统归类。本课通过等腰三角形的判定方法的研究来实现这个目标，并注重学生的主体地位，渗透数学思想方法和发展数学核心素养。

【关键词】等腰三角形判定；数学思维；课堂教学；核心素养

数学思维是数学学习的灵魂，数学思维具有高度抽象性，通过合理的教学模式进行深度挖掘，使得学生的自身数学思维和解决数学能力得以提升，实现数学知识的结构化。特别是初中学生，从具体思维向抽象思维过度的时期，往往会受到阻碍。教学中教师应通过灵动的教学设计来开启学生受阻的思维。本文以人教版八年级上册《13.3.1等腰三角形》第2课时——等腰三角形的判定为例，从课标命题分析、教学过程展示、教学思考改进三个方面来阐述。通过课前、课上、课后三个环节相扣，层次递进的教学方式来实现教学主张。教师借助“高效整合-知识迁移-精设题型”的模式，让学生实现“考点渗透-思维发散-巩固提升”的学习目标。

1 课标解读与命题趋势

等腰三角形的判定是将三角形中角的关系转化为边的关系的一个重要途径，也是证明线段相等的重要方法，在中考题型中也常见等腰三角形与其它知识点的融合。结合目前中考命题呈实践性、开放性、探究性、创新性的趋势。在教学时可以注重发挥学生的主体地位，学生通过画图操作、观察、思考，注意探索发现与演绎推理的有机结合，将知识点与考点无缝衔接，高效完成教学目标同时有利于优化学生的思维、锻炼学生的探究能力。

等腰三角是在轴对称这一大单元的体系下，是轴对称的升华和探索。等腰三角形的研究方法“定义-性质-判定”使得本节课既是学习新知，又是对已有研究方式的应用，为接下去等边三角形的以及其他几何图形的学习提供类比依据。基于以上分析结合新课程标准以学生为本的指导思想，本节课应达成的教学目标为：（1）学生自主探究、发现并论证等腰三角形的判定方法；（2）学生能应用等腰三角形的判定进行证明和计算并会类比迁移。

2 教学示例与画图引入

2.1 本末倒置促生成——“用”以致“学”

【课前布置】在等腰△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水污染了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，你有没有办法把原来的等腰三角形画出来？

【设计思路】问题情境来源于人教版《等腰三角形的判定》这一课时的例3的改编，属于判定定理的应用。但大部分老师在判定定理论证完毕再配套巩固练习后，课时已经差不多结束，来不及进行画图的应用。如此设置既给予学生充足的思考空间，又不占用课堂时间还解决了无法进行画图应用的缺憾，可谓一箭三雕。

【学生展示】

方法1：画BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A。

方法2：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A。

分析：因为点A在线段垂直平分线上，由线段的垂直平分线性质我们得到AB=AC，所以△ABC为等腰三角形。故方法1是正确的。对于方法2，观察学生画图的方法 发现画图的依据是在条件∠B=∠C下，线段AB和AC是否相等？

【设计思路】方法1对应上节课轴对称图形的知识点，有效考察学生对已学知识的掌握情况；方法2对应新授的知识点，利用问题情境使学生将实际问题转化为数学模型 激发学生的学习兴趣。两种方法既承上启下又融合呼应。

追问：需要论证吗？怎么论证？引导学生，写出已知、求证并证明.

2.2 无中生有探新知——因“势”制“宜”

已知：如图1，在△ABC中，∠B＝∠C。求证：AB=AC

分析：（1）如何证两条边相等？（2）如何构两个全等的三角形？

问题：等腰三角形的性质定理用了三种辅助线的添加方法，此题你能用几种方法证明。

证法1：学生1.过点A作AD平分∠BAC交BC于D；△ABD≌△ACD（AAS），得证.

证法2：学生2.过点A作AD⊥BC，垂足为D。△ABD≌△ACD（AAS），得证.

证法3：另辟蹊径，柳暗花明

有学生提出，取BC的中点D，连结AD，如图2。学生小组讨论发现图中条件给的是SSA，就放弃进一步推理。此时教师借机引导学生回顾在学习三角形全等时，SSA在什么情况下能成立，以及观察图形的特征如何解题 中线分三角形两部分的面积相等，引导学生关注全等法与面积法。

经点拨学生尝试过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。此辅助线隐含三种结论：1.两直线的夹角为90°，为三角形全等提供条件；2.点到直线的距离，为角平分线的判定定理提供条件；3.三角形的高线，为三角形的面积关系提供条件。此时学生能通过证△BDE≌△CDF（AAS）得到DE=DF，BE=CF。再证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）得到AE=AF，进一步得到AB=AC。

再引导学生观察证△BDE≌△CDF（AAS）得到DE=DF，你还能得到什么结论？1.根据角平分线的判定定理，可以得到AD平分∠BAC，进一步证△ABD≌△ACD（AAS），直接得到AB=AC。2.根据中点的性质以及三角形的面积关系，根据BD=CD得到， 则，可以得到AB=AC。

证法4：中点一现，倍长中线

通过以上的证明学生的学习积极性充分发挥出来，可以进一步引导学生，点D是中点，还能怎样添加辅助线，学生想到中线倍长法，如图4。延长AD至E，使DE=AD，连结BE。此时可证△BDE≌△CDA（SAS），则BE=AC，∠EBD＝∠C。引导学生再次观察图形，发现BD平分∠ABE，进而引导学生利用角平分线的性质定理和中点的性质以及三角形的面积关系进行证明。还可以如图5，过点D作DF⊥AB，DG⊥BE，垂足分别为F、G，则DF=DG。根椐AD=DE，得到，则，可以得到AB=BE，进一步得到AB=AC。

引导学生通过中点（中点在角平分线上）向角的两边引垂线，此时中点具有双重身份，用面积法和延长中线翻倍法进行证明，培养学生的深度思维，从“教会学生”走向“教慧学生”。

证法5：追本溯源，先人智慧

《几何原本》是一部不朽的几何基础学著作，它呈现了平面几何五大公设，被认为是历史上最成功的教科书，是初中几何学的重要教材。我们不妨引导学生一起来探索一下先人是如何来论证等腰三角形判定定理，感受一下古书的精华，将这些远古的数学思想发扬光大。

设：在△ABC中，∠ACB=∠ABC。求证：AB=AC。

解：如右图，假设AB≠AC，且AB>AC，在AB上取一点D，使DB=AC，连接DC，既然DB等于AC，而BC是公共边，那么DB、BC的对应边AC、CB应相等，∠DBC=∠ACB，于是底边DC便等于底边AB，△DBC≌△ACB（SAS） 小三角形全等于大三角形，这是不成立的，因此AB不能不等于AC，所以AB等于AC。

【设计思路】欧几里得在《几何原本》中对等角推等边采用了矛盾证法——即反证法。这也是使用矛盾证法的第一命题。欧几里得常用矛盾法，使用此法，他并不为推断新的几何目标的存在而用来进行建设，而是用来证明他已经证明的几何学目标的准确性。古书的论证方式也为我们开辟了一条用反证法论证的新思路。

【归纳】等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

符号语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AC＝AB

强调：1.学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴。2.教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据。

【课堂测试】如图6，AB=AD，∠B＝∠D，你能确定BC与DC的数量关系吗？

【分析】学生刚看题目觉的是SSA型，感到BC与DC的数量关系无法确定。此时可引导学生再次观察图形，让学生明确本图形中还有什么特征。如图7，连结BD，根据等边对等角，AB=AD，得到∠ABD＝∠ADB，根据角的和差，进一步得到∠CBD＝∠CDB，根据等角对等边得到BC=DC，此时进一步引导学生观察，当点C向上运动时，图形发生变化如图8与图9，结论有没有变？如图8，当点C在BD上时，此时点C是否是BD的中点？引导学生从动态上去联想图形，得到图10的情况，此时显然满足AB=AD，∠B＝∠D，但不能得出BC=DC。

在学生解决此题后，要引导学生归纳，要善于发现图形的运动变化趋势，以及变中不变的因素和变化中还存在的特殊情况如何处理。

【设计意图】利用本题对线段和角相等证法作进一步的小结，要让学生明确不只全等可以论证，角平分线的性质和判定，垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定同样可以得到线段或角相等。

2.3 开放训练助理解——以“题”说“理”

例1[取自教材78页例2] 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

【分析】此题首先在于能否根据命题作出图形，题设中有两个条件平行与平分，结论中有一个条件等腰。学生会因结论有等腰三角形，先画出一个等腰三角形，此时学生就三角形一个外角的位置，会出现两种情况的图形如图11与图12。如图11若取底角的外角平分线CD//AB，则可推出∠A=∠B=∠ACB，则△ABC为等边三角形。此时，要引导学生进一步思考，若从题设入手又如何画图，先任意画一个角的平分线，再做这个角的补角，在这个补角的边上任取一点，过这点作直线与角平分线平行。教师引导学生画图，并写出已知与求证。已知：如图12，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC。求证：AB=AC。

思考：将题目的题设和结论对调，是否成立？

【设计意图】1.就地取材巩固所学知识，体会运用等腰三角形的判定方法进行证明的方法。2.借助教材中的例题对判定定理进行巩固和应用，分析后教师再引导学生总结证明两条线段相等的最常用方法。3.对调命题的题设与结论，培养学生的逆向思维能力。最后归纳出等腰三角形、平行、角平分线三者“知二求一”的关系。

例2[取自教材例3] 已知等腰三角形底边长为a 底边上的高的长为h 求作这个等腰三角形

【设计意图】学生发表自己的想法 教师总结学生的设想 给出正确的作法.让学生掌握：已知底边及底边上的高求作等腰三角形这一重要作图方法。

2.4 锦上添花固所学——达标测试

1.已知：如图，AD//BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD。

总结：平分角 平行=等腰三角形

2.如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？

3 教学反思与教学改进

3.1 以生为本，找准教学着力点

本节课类比几何图形的研究方法，在判定定理的教学过程中首先利用画图还原等腰三角形契机，让学生体会学习“等角对等边”的迫切性和必要性，注重实用目的。再引导学生探究等腰三角形判定的证明方法，并发散思维、打破传统尝试从不可能的角度来证明，优化学生思维的同时培养学生的刨根问底的质疑精神，发展了严谨规范的逻辑推理能力。整节课围绕以生为本的教学理念，因学生的需求而设计，顺学生的思维而布疑，应学生的发展而拓展，让学生在层层升华中提升数学素养。

3.2 优化思维，重视高效课堂生成

本课时承载的数学思维可以具体化为数学推理思维，它的发展贯穿于本节课的各个环节中。通过整合、重构例3的引入方式显得简单实用又意味深长，通过自主探究发展了学生的类比推理和归纳推理能力，采用多种论证方式提升了学生演绎推理能力。最后教材例2的应用，更是对平行线、角平分线、等腰三角形知识体系的串联和完善。整个教学过程中都落实三种语言的转换和表述，重视课本例题的衔接、应用与衍生。让数学的智慧充满整个教学过程，让数学的价值流淌师生的心间。

3.3 提升境界，反思小结增值

课堂小结不仅仅是问学生学习了什么，而是应该了解学生掌握了什么，能应用本节课的知识解决什么问题。其次，课堂的小结并不意味课堂的结束，相反如何进行课堂的延伸才是至关重要。课后巩固训练不在于“多”，而在于“精”和“贴”，一定要紧扣课堂教学内容，张弛有度，这样才能使教学目标不流于形式，真正检验教学成果。

结语：初中数学优化学生思维的课堂创建最关键的点在于适合。适合的课堂教学策略既是衔接学生已有基础与高层次思维的桥梁，也是搭建数学教学与数学素养的融合的平台。一节好的数学课不仅要牢牢把握数学的实用价值，高效优化学生思维，揭示数学学科本质，还要渗透数学思想方法，积累数学活动经验，发展数学核心素养，教会学生以数学为工具促进全面学习。

【参考文献】

[1]欧几里得.几何原本[M].江苏：江苏人民出版社，2011.（3）:10-11.

[2]义务教育教科书.数学.八年级.上册（2013.9版）[M].北京：人民教育出版社，2019.（11）：77-78.

*福清市教育科学研究“十四五”规划 2021 年度规划课题 “基于核心素养下的初中数学优化学生思维的课堂实践研究”（立项编号：FQ2021GH046）的阶段性研究成果；福清市教育科学研究“十四五”规划 2021 年度专项课题“基于四元五环课堂深度教与学实践研究”（立项编号：FQ2021ZX004）的阶段性研究成果。