怎么快捷从1填到100（从1加到100的对话二）
怎么快捷从1填到100（从1加到100的对话二）父：对，说明上一个公式涵盖了这个公式，这个公式是上个公式的特殊形式。然后我们再看看以下的特殊形式：Sn=n(n 1)/2Smn=n(n 1)/2-m(m 1)/2父：哈哈，你都自己推导出第二个公式啦！你完全可以自己命名这个公式了，自己做出的数学成果啊！你可以看看，如果m=0代表什么意思？公式变成什么了？女： m=0时，这个就是
（接上文）
父：你明白了这个计算原理，就可以自己推导出这个问题的一般公式了。我们用数学语言表达就是：设m n是两个自然数，并且m<n 那么从m到n的自然数之和是Smn=?
女：这个就是代入就行了吧。根据自然数求和公式：
Smn=Sn-Sm
Smn=n(n 1)/2-m(m 1)/2
父：哈哈，你都自己推导出第二个公式啦！你完全可以自己命名这个公式了，自己做出的数学成果啊！你可以看看，如果m=0代表什么意思？公式变成什么了？
女： m=0时，这个就是
Sn=n(n 1)/2
父：对，说明上一个公式涵盖了这个公式，这个公式是上个公式的特殊形式。然后我们再看看以下的特殊形式：
2、4、6、8、10 、……
1、3、5、7、9、……
认识这两个数列吗？
女：嗯，知道。第一个是偶数数列，第二个是奇数数列。
父：不错，那么用数学语言是怎么定义的偶数和奇数？
女：偶数就是可以被2整除的自然数，不能被2整除的自然数叫奇数。
父：对，那用数学语言是怎么表示的呢
女：偶数就是2n 奇数就是2n-1
父：好，这个时候一定要标明n是自然数，所以这两个数列就可以写成
2、4、6、8、10 、……2n
1、3、5、7、9、……2n-1
那你考虑以下这两个数列求和，先算偶数列
女：欧了，是我展现实力的时候到了！让我想想用什么方法啊。如图：
图1
Sn=2 4 6 …… 2n=(2 2n)*n/2=n(n 1) 怎么样，对不对？
父：哈哈，答案是对的，看来你喜欢上图形法了。你看看这个偶数求和跟自然数求和有啥关系？
自然数求和 Sn=n(n 1)/2
偶数求和 Sn=n(n 1)
女：偶数求和是自然数求和的两倍，哦我明白了
Sn=2 4 6 …… 2n=2（1 2 3 …… n)=2*n(n 1)/2=n(n 1)
偶数列求和就是两倍的自然数列求和，哈哈。
父：是的，这样你就更深入的了解了这两个数量的关系。并且理解了通过已知的公式推导和计算省去了很多力气。按照这个思路，你考虑下奇数列求和
女：明白，我想想我有思路啦！Sn=1 3 5 …… 2n-1=(2 4 6 …… 2n)-n=n(n 1)-n=n² 好家伙，竟然是这样
Sn=1 3 5 …… 2n-1=n²
父：你发现啦，竟然是n的平方。同样一个事物，用不同的眼光去看，用不同的语言表达，你会惊奇的发现内在的联系，这就是认识的加深。比如我给你出一道题，你们学校组织操场上列队形，有81个同学，要求排成纵队，每纵队比旁边一列纵队多两名同学，请问应该如何排？
女：如果不是今天讲了这个，我的思路可能就是在纸上乱画。有了这个公式，题目其实是一个奇数求和的问题。9*9=81，所以，应该排成9列纵队，数字分别是：
1、3、5、7、9、11、13、15、17
父：哈哈，你进步很大啊！那你再想想，偶数列，奇数列与自然数列求和的关系。
女：奇数和偶数相互交替出现，那么奇数列与偶数列之和就是自然数列。
父：那你能用公式推导验证一下吗
女：我试试，
n之前的偶数求和是 Sn=n(n 1)
n之前的奇数求和是 Sn=1 3 5 …… 2n-1=n²
n的自然数列求和是 Sn=n(n 1)/2
欸……，按道理应该是
奇数列 偶数=自然数列
这明显不相等啊！
父：呵呵，是啊，问题在哪呢？我给你看下数据啊
我们仅算前4项：
自然数列=1 2 3 4=10
奇数列=1 3 5 7=16
偶数列=2 4 6 8=20
奇 偶=1 2 3 4 5 6 7 8=36
女：我明白了，这加起来不一样啊。
父：所以，很多事情，特别是数学，不能想当然。这里的n代表的是项的序数，而不是此项的数字。只有自然数列项序数和项的数字是一致的。那怎样就让这个等式成立呢？
女：这……，好复杂。
父：不复杂啊，如果一个自然数列：1、2、3、……、n. 那么这里面有多少个偶数项，多少个奇数项呢。
女：嗯，这个我可以考虑下。1、2、3、4 就有两个偶数，两个奇数；如果是1、2、3、4、5就有2个偶数，三个奇数。这不一定啊，如果n是偶数，那么偶数与奇数都有n/2项；如果n是奇数，那么偶数就有(n-1)/2 项，奇数就有（n-1)/2 1项。怎么样，没错吧
父：好，你可以试验一下，如果是100以下的偶数项之和是多少，奇数项之和是多少？
女：偶数项之和，100是偶数，共有50个偶数项和50个奇数项，所以偶数项之和是50*（50 1）=2550，奇数项之和是50*50=2500，两者相加是5050. 回答正确，加十分！
父：哈哈哈哈哈，好的。你看啊，自然数列是相邻两项之差为1，偶数项与奇数项都是相邻两项之差为2，咱们算一个两项之差为3的，如下：
1，4，7，10，13，16，……，（ ）
第一个问题是，你能不能列出通项公式？
第二个问题，你能不能推出这个数列求和公式？
（未完待续）
