归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)
归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)∴Δ=b2-4ac=9+4a>0,∴a>-9\4,解:∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,例3.(15南通)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0 之间(不包括-1和0),则a的取值范围是 .【解析】【方法一】利用函数图象“数学结合”解题
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.
其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的.
“以数辅形”是指借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性,即以数为手段,形作为目的.
【典型例题】
例3.(15南通)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0 之间(不包括-1和0),则a的取值范围是 .
【解析】
【方法一】利用函数图象“数学结合”解题
解:∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=9+4a>0,∴a>-9\4,
设二次函数y=ax2-3x-1,
∵方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间,∴x1x2=-1\a>0,
∴a<0,∴二次函数y=ax2-3x-1的图象如图所示,
∴当x=-1时,y=a+3-1<0,即a<-2,
∴a的取值范围是-9\4<a<-2.
故答案为:-9\4<a<-2.
【方法二】用方程的有关的知识解题
【总结】根据一元二次方程与二次函数之间的关系,使用图象法可以快速解决问题.
【举一反三】
例4.(14济宁)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是.
A.m<a<b<n
B.a<m<n<b
C.a<m<b<n
D.m<a<n<b
【解析】
【方法一】
解:方程可以化简为x2-(a+b)x+ab-1=0,
【方法二】数形结合思想
解:依题意,得,画出函数y=(x-a)(x-b)的图象,如图所示.
函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a<b).
方程1-(x-a)(x-b)=0转化为(x-a)(x-b)=1,
方程的两根是抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=1的两个交点.
由m<n,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.
由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少,则有m<a;
在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有b<n.
综上所述,可知m<a<b<n.
故答案为:m<a<b<n.
【方法三】数形结合思想
解:如图,画出二次函数y=(x-a)(x-b)的图象,
∴该二次函数x轴的两个交点坐标分别为(a,0)和(b,0)其中a<b,
将二次函数y=(x-a)(x-b)的图象向下平移1个单位,得到新二次函数的解析式为y1=(x-a)(x-b)-1,
∴这时新二次函数与x轴的交点为(m,0)和(n,0)其中m<n,
易得:m<a<b<n.
故答案为:m<a<b<n.
【方法四】特殊值法
解:依题意得令a=0,b=1,则原方程可化为1-x(x-1)=0,即x2-x-1=0,
【总结】方程问题通常可以转化为函数问题,利用函数图象快速判断答案.