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归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)∴Δ=b2-4ac=9+4a>0,∴a>-9\4,解:∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,例3.(15南通)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0 之间(不包括-1和0),则a的取值范围是 .【解析】【方法一】利用函数图象“数学结合”解题

数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.

其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的.

“以数辅形”是指借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性,即以数为手段,形作为目的.

【典型例题】

例3.(15南通)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0 之间(不包括-1和0),则a的取值范围是 .

【解析】

【方法一】利用函数图象“数学结合”解题

解:∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,

∴Δ=b2-4ac=9+4a>0,∴a>-9\4,

设二次函数yax2-3x-1,

∵方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间,∴x1x2=-1\a>0,

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)(1)

a<0,∴二次函数yax2-3x-1的图象如图所示,

∴当x=-1时,ya+3-1<0,即a<-2,

a的取值范围是-9\4<a<-2.

故答案为:-9\4<a<-2.

【方法二】用方程的有关的知识解题

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)(2)

【总结】根据一元二次方程与二次函数之间的关系,使用图象法可以快速解决问题.

【举一反三】

例4.(14济宁)“如果二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2bxc=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若mnmn)是关于x的方程1-(xa)(xb)=0的两根,且ab,则abmn的大小关系是.

A.mabn

B.amnb

C.ambn

D.manb

【解析】

【方法一】

解:方程可以化简为x2-(ab)xab-1=0,

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)(3)

【方法二】数形结合思想

解:依题意,得,画出函数y=(xa)(xb)的图象,如图所示.

函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为abab).

方程1-(xa)(xb)=0转化为(xa)(xb)=1,

方程的两根是抛物线y=(xa)(xb)与直线y=1的两个交点.

mn,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n

由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,yx增大而减少,则有ma

在对称轴右侧,yx增大而增大,则有bn

综上所述,可知mabn

故答案为:mabn

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)(4)

【方法三】数形结合思想

解:如图,画出二次函数y=(xa)(xb)的图象,

∴该二次函数x轴的两个交点坐标分别为(a,0)和(b,0)其中ab

将二次函数y=(xa)(xb)的图象向下平移1个单位,得到新二次函数的解析式为y1=(xa)(xb)-1,

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)(5)

∴这时新二次函数与x轴的交点为(m,0)和(n,0)其中mn

易得:mabn

故答案为:mabn

【方法四】特殊值法

解:依题意得令a=0,b=1,则原方程可化为1-x(x-1)=0,即x2x-1=0,

归纳常用数学的思想方法并举例(数形结合思想巧解题)(6)

【总结】方程问题通常可以转化为函数问题,利用函数图象快速判断答案.

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