超越数是实数吗(e是超越数的一个证明)
超越数是实数吗(e是超越数的一个证明)将F(x)相关项单独放到左边得到:将上式中依次令b=0 1 2 3… n,并把所得的n 1个等式分别乘以对应的an之后再相加得到如下等式:由求导公式我们可以得出:因此由积分的基本公式我们可以得到:移项后并变形后得到:
所有实数分为代数数和超越数,代数数是指次数为某一有理系数多项式的根,反之超越数指它不是任意有理系数多项式的根。e和π的超越性一直困扰着数学家,直到1873年厄尔米特才首次证明了e的超越性,而到1882年德国数学家林德曼用了和厄尔米特差不多的方法证明了π的超越性。也顺带解决了古希腊的三大作图难题之一的化圆为方,π是超越数自然不能由尺规作图得到。下面简单介绍一个《数学的100个基本问题》提到的简单证明方法,它会用到一些基本的微积分知识。
证明方式主要用反证法,假设e不是超越数,那么它就是某个整系数多项式的根,如下式:
任意大于|a0|和n的素数p,构造一个多项式:
其次设数m=(p-1) np。这样有f(x)的m 1阶导数为0,再令:
由求导公式我们可以得出:
因此由积分的基本公式我们可以得到:
移项后并变形后得到:
将上式中依次令b=0 1 2 3… n,并把所得的n 1个等式分别乘以对应的an之后再相加得到如下等式:
将F(x)相关项单独放到左边得到:
下面我们需要证明上式中的左式对于任意素数p都是一个非0整数,而对于右式当p→∞时极限为0,这样就得出矛盾证明了e的超越性。
由f(x)的构造我们可以看出它的p阶以及p阶以上导数均为整系数多项式且各项系数都能够被p整除。而对于它的前p-1阶导数,在x=1 2 3 … n处都等于0,所以F(1) F(2) F(3) … F(n)都是p的整数倍。另外在x=0处,f(x)的前p-2阶导数均为0,而p-1阶导数如下:
上式不能被p整除,但是在x=0处,f(x)的p阶至m阶导数均为p的倍数。因此:
是一个不能被p整除的整数。又因为p>|a0|,所以p不整除a0,所以上面提到的左式:
除了第一项不能被p整除外,其余都是p的倍数,因此该式不可能为0。此外,当x在[0 n]上取值时,我们可以得到:
因此我们可以得到下面的不等式:
我们设C=|a0| |a1| |a2| … |an|,并带入,则:
由于n为固定正整数,当p→∞时,有:
从而得到:
由此得到了矛盾,证明了e是一个超越数。