在一点处的切线和过一点一样吗：切与割有什么区别 到底什么是切线

在一点处的切线和过一点一样吗：切与割有什么区别 到底什么是切线实际上，“切线”一词的英文——“tangent”，源自拉丁语“to touch”，表示接触的意思。窃以为，这种接触就是点到为止，不过分依靠和攀附。切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。所以，1828年以后，这种频繁出现在各种词典中的定义被正式宣布废弃了。如果你还持有这种观念，那很抱歉，你的观念已经out快两百年了！1828年之后，词典里对切线的给出的定义是：

不对不对！切线应该是直线，而你这里是射线嘛。

关于切线的这样的一种观点或约定，一直被广泛的接受，直到1828年。

因为不断有人提出：一条切线应该只与曲线上一个点关联，而不必管它是否在别的位置切割曲线。按此说法，像上图 中的红线也应该是切线！

也就是说，对曲线有转向的情况，因为无法避免直线与曲线切割，上面所提到的切线定义无法给出切线。

所以，1828年以后，这种频繁出现在各种词典中的定义被正式宣布废弃了。

如果你还持有这种观念，那很抱歉，你的观念已经out快两百年了！

1828年之后，词典里对切线的给出的定义是：

切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。

实际上，“切线”一词的英文——“tangent”，源自拉丁语“to touch”，表示接触的意思。窃以为，这种接触就是点到为止，不过分依靠和攀附。

据此描述，对于将切线演示出来这件事，具有良好的可操作性：当你拿着一根不太长的直线靠近曲线上的某个确定点时，只要让你手里的直线与曲线刚好接触，你手里的直线就是那条要找的切线。

若你将一根刚性直杆搭在一个圆球上，只要你避免杆的两端与球面直接接触，可以肯定，杆必定与球保持相切。

如下图，假设地面光滑，左边的球与墙壁接触但无压力，因此球没有发生形变，所以墙面和球面刚好接触，二者相切。而右边的球因为受到细线的斜拉力，必定受到墙面的支持力，球面发生形变，它与墙之间并非点到为止，因此墙面不是球面的切面。

虽然这种切线定义是正确的，并且实际操作性强。但这句话有点模糊，“刚好触碰”什么意思？感觉正经的数学定义不会这么说，的确不太好理解，所以这个定义的接受度不是很高。

为了解决广大群众对数学知识的向往与有限的理解力之间的矛盾，人们需要一种更浅显的说法。比如：有几个交点就算切线？于是，“只交于一点”这么一个最直观，但却很容易找到反例的错误说法依然占有较大的市场。

难道在漫长的人类文明史中，切线的定义就只是这个？

非也！太小看历史上的那些聪明的数学家了！其实早在古希腊时代，人们就给出了准确的定义，后来人们又对切线给出多种定义。但遗憾的是，或许是因为数学和几何上的严格定义往往是比较抽象的，这些正确定义并未被大众所熟知。

那么，到底有哪些大牛曾经提出过正确的切线的定义呢？其实，古希腊的数学家欧几里德和阿基米德、比牛顿稍早的法国数学家费马以及牛顿本人等，都对切线做过研究。本文无意去地毯式探求切线定义的发展历史，只列举一下最为重要的两个定义。

第一个定义来自古希腊三大数学家之一的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190）。

在数学中，喇叭角，也称为horn angle，是一种曲线角，定义为两条相切的曲线之间形成的角。下面这只牛角表面沿纵向正对的两条曲线近似牛角尖处相切，因此就形成一个喇叭角。当然，你可能会钻牛角尖，因为牛角是个立体角。

按照阿波罗尼奥斯的观点，若切线为直线，那么，切线与曲线之间形成的喇叭角是经过该点所有直线与曲线形成的角中最小的那一个。

当然，如果切线没有被限制为直线，那么在它与所切的曲线之间，可以插入另外的不同曲线，它们之间彼此两两相切。例如下图中， 就成功的被插入到 和它的切线之间。

阿波罗尼奥斯将切线定义为一条直线，那么它和曲线之间不可能还能插入其他的直线。话句话说，所谓切线就是那个与曲线接触并形成最小夹角的直线。

不过，值得注意的是，这种切线的定义只适合于光滑的曲线，如果像下面这种情形，切线是不存在的。图中红色的直线只是曲线部分的切线，而非整体的切线。