快捷搜索:  汽车  科技

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(i)对顶角之逆在初等几何中 共线点主要是化成角的等量关系 具体的途径 则有如下几条:(ii)化成面积关系:相应的三角形之面积为零(ii)化成角的等量关系在初等几何中 常用的是后者 前两种多见于解析几何.

共线点的证法

判定三点或三个以上的点位于同一直线 谓之共线点问题.共线点是初等几何中的一类重要问题 一些重要的、有特殊性的点 恰恰共线 成了初等几何的著名问题.

1.基本思路

在理论上讲 共线点也是一种等量关系 因为有如下三个准则:

(i)化成等距关系:两个较小的距离之和等于最大的距离.

(ii)化成面积关系:相应的三角形之面积为零

(ii)化成角的等量关系

在初等几何中 常用的是后者 前两种多见于解析几何.

2.常用途径

在初等几何中 共线点主要是化成角的等量关系 具体的途径 则有如下几条:

(i)对顶角之逆

欲证X、Y、Z共线 可自X引一直线PXQ 若Y、Z在PQ的异侧(如图),则有

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(1)

∠YXP=∠ZXQ推出X、Y、Z共线

(ii)邻角互补.

自X引射线XP 若Y、Z在直线XP的异侧(如图) 则有

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(2)

∠YXP ∠PXZ=180°推出X、Y、Z共线

(iii)平行线的唯一性

证一点与另两点的连线皆平行于某定直线 则该三点共线.

(iv)垂线的唯一线.与上类似

((iii)、(iv)这两条 实质上也可归结成前两条的特例但因常用而单列之 以便引用.)此外 常用的还有以下两条途径:

(v)证明具有某特性的点必在另两点的连线上

(vi)归结为已知的共线点定理

例如 许多共线点的问题 都可用将要介绍的梅氏的共线点定理去证.

3.证法举例

例1、已知:△ABC内接于⊙O L、M和N分别为BC、CA和AB的中点 连结NM、LM分别交AB、BC于D、E,I为△ABC的内心。求证:D、I、E共线.

说明 其实 角平分线和外接圆上造成的等角关系很多 恰当地运用 就产生多种解法 现分别介绍如下:

证法1 利用对顶角之逆

设α=∠DIN B=∠CIE 其它各角如图1.1所示,则有M平分弧AC,

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(3)

这个证明中 对顶角a、β是以两种不同的方式进行转化的 因此 将每种方式加以发展 便又得两种证法:如图1.2的所示 a、β是邻补角;如图1.3所示 证ADIP、CEIQ皆为菱形,即可由平行线的唯一性得出所证。

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(4)

图1.2

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(5)

图1.3

证法2 利用平行线的唯一性

设BM交AC于B 并连结AM 如图2.2。

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(6)

证法3 借助计算.

如果一时没有找到恰当的等量关系 或没有看出相似形 亦可借助分角线定理和正弦定理进行计算,即有

先在△AMB中,由MN平分∠AMB可得

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(7)

4 两条著名的线

(1)欧拉线

在任一三角形中 外心亚心和重心共线。

(2)西姆松( Simson)定理

三角形外接圆上任一点向三边作垂线 则三垂点共线。

5 一个有力的工具--梅涅劳斯(Menelans)定理

以上都是一些特殊的其线点 现在 我们给出一个判定三点共线的普通准则 从而可以把它用来作为证明共线点的锐利武器。

(1)梅氏准则:在△ABC中 设X Y.Z分别位于BC.CA.AB或其延长线上,如图4.1。

X、Y、Z其线的充要条件是

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(8)

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(9)

图4.1

(2)梅氏准则的应用

除了例题之外,我们再举一个例子。

例2、在直角梯形ABCD中 以垂直的一腰AB为直径的半圆切另一腰于E 自E作EF⊥AB于F 连结AC交EF于M。求证:AC平分EF

证:利用梅氏定理

延长二腰、设它们相交于S 如图4.2,

初中数学三点共线找对方法(中考数学三点多点)(10)

这两例说明:梅氏定理 不仅是证共线点的有力工具 只要用的适当 它在其他问题上亦会发挥强大的威力。

猜您喜欢: