面积最值问题解题(奇妙的面积法解方程)
面积最值问题解题(奇妙的面积法解方程)[阿尔.花拉子解法]将边长为xm的正方形和边长为1的正方形,外加两个长方形,长为x,宽为1,拼合在一起面积就是x² 2•x•1 1•1,而由x² 2x﹣35=0变形及x² 2x 1=35 1(如图所示)即左边边长为x 1的正方形面积为36.所以(x 1)²=36,则x=5.他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x² 2x﹣35=0的一个解.在数学学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,从而构建等量关系,这种利用面积关系解决问题的方法,使抽象的数量关系因几何直观而形象化.下面我们通过实例来看一下花拉子米的一元二次方程面积解法特色吧。例1.阅读材料后再解答问题:古代丝绸之路上的花刺子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家--"代数学之父"阿尔•花拉子米.
"代数"这个词本身起源于9世纪的波斯的数学家、天文学家以及地理学家花拉子米,大约生于公元780年,逝于850年。对应到我们中国就是中唐和晚唐时期的人物,和柳宗元、白居易以及韩愈是同时代的人。
花拉子米
这个花生米他到底有什么贡献呢?花拉子米的一大贡献是写了一本名叫《代数》的书,在这本书里,他第一次系统地解决了一次方程还有一元二次方程的问题,所以他也成为代数学的创造者。虽然在公元前2000年的时候,古巴比伦人就已经演化出了一些方程的解法,我国在公元50年左右写成的《九章算术》中,也已经提出了一些方程的解法,但是在花拉子米之前的各种解法都不够系统,只能对于一些特定的方程有用。公元823年左右,花拉子米从印度回到波斯后,第一次明确地提出了二次方程的解法,而且还提出了我们现在经常用到的"移项"、"合并同类项"等等方法。这些方法在《代数》这本书里确定下来以后,一直用到现在。甚至英语中"代数"这个词algebra,其实就来自于花拉子米的这本书的书名,它是把原来阿拉伯文的书名转写成了拉丁文,进而转写成了现在英文里的写法。而英文里"算法"这个词algorithm,其实就是花拉子米的名字在英文里的转写。从这儿我们就足以看出花拉子米绝非等闲之辈。
花拉子米的《代数》
在数学学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,从而构建等量关系,这种利用面积关系解决问题的方法,使抽象的数量关系因几何直观而形象化.下面我们通过实例来看一下花拉子米的一元二次方程面积解法特色吧。
例1.阅读材料后再解答问题:
古代丝绸之路上的花刺子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家--"代数学之父"阿尔•花拉子米.
他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x² 2x﹣35=0的一个解.
[阿尔.花拉子解法]将边长为xm的正方形和边长为1的正方形,外加两个长方形,长为x,宽为1,拼合在一起面积就是x² 2•x•1 1•1,而由x² 2x﹣35=0变形及x² 2x 1=35 1(如图所示)即左边边长为x 1的正方形面积为36.所以(x 1)²=36,则x=5.
你能运用上述方法构造出符合方程x² 8x﹣9=0的一个正根的正方形吗?试一试吧!
【分析】因为x² 8x﹣9=x² 8x 16﹣25=0,所以x² 8x 16=25,即(x 4)²=25,由此可以构造出边长为x 4的正方形,然后可以得到x 4=5即可解题.
【解答】如图所示,大正方形边长为x 4,
四个面积和为x² 4x 4x 16=x² 8x 16,
而x² 8x﹣9=x² 8x 16﹣25=0.
所以x² 8x 16=25,即x 4=5,所以x=1.
变式1.你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗?以x²﹣2x﹣3=0为例,大致过程如下:
第一步:将原方程变形为x²﹣2x=3,即x(x﹣2)=3.第二步:构造一个长为x,宽为(x﹣2)的长方形,长比宽大2,且面积为3,如图1所示.第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图2所示.第四步:计算大正方形面积用x表示为 .由观察可得,大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得方程 ,两边开方可求得:x₁=3,x₂=﹣1.
(1)第四步中横线上应填入 .
(2)请参考古人的思考过程,解方程x²﹣x﹣1=0.
【分析】(1)根据题意先表示出大正方形的边长再根据正方形的面积公式即可得出大正方形面积;
根据题意先得出小正方形的边长,再根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,即可得出答案;
(2)先将原方程变形,构造出一个长为x,宽为(x﹣1)的长方形,长比宽大1,且面积为1,再用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,得出一个方程,两边开方,即可求出方程的解.
【解答】(1)∵大正方形的边长是[x (x﹣2)],
∴大正方形面积是:[x (x﹣2)] ²=(2x﹣2)²;
∵小正方形的边长是:[x (x﹣2)]﹣2(x﹣2)=2,长方形的面积为3
又∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和,
∴(2x﹣2)²=4×3 2²=16;
故答案为:(2x﹣2)²;(2x﹣2)²=4×3 22;
(2)第一步:将原方程变形为x2﹣x=1,即x(x﹣1)=1.
第二步:构造一个长为x,宽为(x﹣1)的长方形,长比宽大1,且面积为1.
第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形.
第四步:计算大正方形面积用x表示为[x (x 1)]2.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用,用到的知识点是长方形、正方形的面积公式,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程.
变式2.我们常用"去分母法"将分式方程转化为整式方程,然而古代数学家斐波拉契在《计算数学》中运用"几何代数"法,即运用面积关系将分式方程转化为整式方程,从而求解分式方程的根.请同学们先阅读材料,再解答问题:
【分析】与花拉子米的面积法求解一元二次方程方程的解法,异曲同工之妙,我们也可以利用面积方法求解特殊的分式方程的根。
(1)根据题意即可得到结论;
(2)根据题意得到矩形EHGD的面积=5(x 2),矩形EHGD的面积=30﹣5x,根据矩形的面积公式得到AH=CG=(30-5x)/2然后根据矩形的面积公式列方程即可得到结论;
【尝试】构造图形如右图3,根据矩形FGHE与矩形BCIH的面积相等,列方程得到CI=BH=5x/4,根据矩形的面积公式列方程即可得到结果.
【解答】(1)a=60,b=20;
(2)由题意知,矩形EHGD的面积=5(x 2);
矩形EHGD的面积=30﹣5x;
从而AH=CG=(30-5x)/2
因为矩形ABFH的面积为20所以(30-5x)/2•x=20,解得x=2或x=4;
【尝试】构造图形如右图3,AB=x,CA=x 2,矩形ABEF和矩形ACIG的面积均为60,ID=FG=5/2,则BC=2,矩形FGHE与矩形BCIH的面积相等,
∴5x/2=2BH,∴CI=BH=5x/4,
∴矩形ACIG的面积=AC•CI=(x 2)•5x/4=60,
∵x>0,解得:x=6.
【点评】本题考查了矩形的性质,矩形的面积公式,解分式方程,正确的理解题意是解题的关键.
牛刀小试:
1.对于一元二次方程,我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法,以方程x² 2x﹣35=0为例,公元9世纪,阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是:将原方程变形为(x 1)²=35 1,然后构造如图,一方面,正方形的面积为(x 1)²;另一方面,它又等于35 1,因此可得方程的一个根x=5,根据阿尔•花拉子米的思路,解方程x²﹣4x﹣21=0时构造的图形及相应正方形面积(阴影部分)S正确的是( )
【解析】利用配方法把方程变形,结合图形解答.选C.
2. 【研究方程】
提出问题:怎样图解一元二次方程x² 2x﹣35=0(x>0)?
几何建模:
(1)变形:x(x 2)=35.
(2)画四个长为x 2,宽为x的矩形,构造图2
(3)分析:图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式,(x x 2)²或四个长x 2,宽x的矩形面积之和,加上中间边长为2的小正方形面积.
即(x x 2)²=4x(x 2) 2²
∵x(x 2)=35,∴(x x 2)²=4×35 2²,∴(2x 2)²=144
∵x>0,∴x=5
归纳提炼:求关于x的一元二次方程x(x b)=c(x>0,b>0,c>0)的解.
要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并注明相关线段的长)