麦克劳林常用公式与泰勒公式(麦克劳林公式的魔法)
麦克劳林常用公式与泰勒公式(麦克劳林公式的魔法)又(x^4)^(4)=(4x^3)"'=(12x^2)"=(24x)'=24,即(cosx-e^(-x^2/2))^(4)=-2(-sinx xe^(-x^2/2))'=-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2)->0 (x->0)(-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2))'=sinx-xe^(-x^2/2)-2xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)=sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)->0 (x->0)(sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2))'=cosx-3e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)=cosx-3e^(-x^2/2) 6x^
求不定式极限最常用的方法,是利用洛必达法则,即对分子分母同时求导,再求极限。洛必达法则可以重复运用,直至求出极限为止。但是有些不定式极限,反复运用洛必达法则求解,可能相当繁琐,比如下面这个不定式极限:
求lim(x->0)(cosx-e^(-x^2/2)/x^4).
解1:【我们先来看看,运用洛必达法则是怎么求的。为了条理更清楚,下面采用拆解的方法】
因为(cosx-e^(-x^2/2))’=-sinx xe^(-x^2/2)->0 (x->0)
(-sinx xe^(-x^2/2))'=-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2)->0 (x->0)
(-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2))'=sinx-xe^(-x^2/2)-2xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)=sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)->0 (x->0)
(sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2))'=cosx-3e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)=cosx-3e^(-x^2/2) 6x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)->-2 (x->0)
即(cosx-e^(-x^2/2))^(4)=-2
又(x^4)^(4)=(4x^3)"'=(12x^2)"=(24x)'=24,
所以原极限=-2/24=-1/12.
如果您觉得上面这种方法也挺简单的,那也可以坚持用这种方法的。不过下面利用麦克劳林公式求解的方法,肯定要简便得多的。
解2:【利用麦克劳林公式的关键是熟记常用函数的麦克劳林展开式,其中】
cosx=1-x^2/2! x^4/4! … (-1)^m*x^(2m)/(2m)! o(x^(2m))
e^(-x^2/2)=1-x^2/2 x^4/(2^2*2!) … (-1)^m*x^(2m)/(2^m*m!) o(x^(2m))
取m=2 【即2m=4 只需保持与分母的次数相同就可以了】
则原极限=lim(x->0)(x^4/24-x^4/8)/x^4=1/24-1/8=-1/12. 【这里其实仍运用了洛必达法则的思想,低次项求四阶导数后,肯定等于0,无穷小量的极限也等于0,所以它们都被省略掉了】
两种方法比较一下,明眼人都能看得出来,利用麦克劳林公式的方法要简便得多。不过运用麦克劳林展开式求极限有一个前提,那就是x必须是趋于0的。