高等数学常见的偶函数（高等数学2）

高等数学常见的偶函数（高等数学2）换句话说，如果你在解决问题的时候发现有一个条件是定义域关于原点对称，而你并没有用到奇偶性，这个时候你就应该要当心了。当然不一定，这个还是要具体问题具体分析。这是奇偶性最初级的玩法，无论是一个奇函数还是一个偶函数，其前提必须是定义域关于原点对称。只要没有提到定义关于原点对称，它的函数形式就是再漂亮也是没有任何用处的。奇偶性的定义这边就不复述了，比较简单。但即使是这么简单的概念，也是可以玩出一点花样来的。比如：如果对于任意一个x属于定义域D，均有f(-x)=f(x)恒成立，则函数f(x)为偶函数，这句话正确吗？答案当然是错误的，不知道各位有没有判断出来。

前文刚刚叙述了函数的有界性和单调性两个性质。

当然，对于前面两个概念的叙述依旧是比较浅薄的，在第二阶段还需要继续加深才能够达到考研的水平。

那么本文，我们还是继续要去介绍函数的奇偶性。

因为我认为对于概念的理解和加深应该是一层一层来的，不能只盯着一个概念深挖下去。而且真正的难题，往往是多个概念串联进行的。

奇偶性的定义这边就不复述了，比较简单。但即使是这么简单的概念，也是可以玩出一点花样来的。

比如：如果对于任意一个x属于定义域D，均有f(-x)=f(x)恒成立，则函数f(x)为偶函数，这句话正确吗？

答案当然是错误的，不知道各位有没有判断出来。

这是奇偶性最初级的玩法，无论是一个奇函数还是一个偶函数，其前提必须是定义域关于原点对称。只要没有提到定义关于原点对称，它的函数形式就是再漂亮也是没有任何用处的。

换句话说，如果你在解决问题的时候发现有一个条件是定义域关于原点对称，而你并没有用到奇偶性，这个时候你就应该要当心了。当然不一定，这个还是要具体问题具体分析。

接下来是奇偶性的另一个初级玩法，就是让你通过公式来判断是否是奇函数，是否是偶函数。大部分人都选择直接把(-x)带到原有的函数公式中，然后看是否f(-x)=f(x)，但是我这边并不建议这么去做。

原因在于以这种方法，你是要对公式进行一定的调整，以使左右两边形式相同的。换句话说你要去“凑”公式，但不一定每一个公式都是那么好凑的。

有些人很坏，他在公式里面加一点根号，加一点分数，你就比较麻烦了。有的时候明明知道它是拥有这个性质的，可你就是死活凑不出这个公式，因为凑这个公式需要一定的巧劲。一旦你没有考虑到这一个巧劲，你在考场上心态一崩溃，你接下来就完蛋了。

所以我的建议是把公式的右端项直接移到左边。偶函数就是f(-x)-f(x)=0，这样你直接死算就可以了，如果出现你死算也算不出的情况。那你也放心，这式子你基本是凑不出来的。这边建议就直接放弃吧，有的时候人生也是要学会放手的。

接下来奇偶性与单调性相结合，这个没有什么，就是提一下。奇函数左右两边单调性相同，偶函数左右两边单调性相反，注意下即可。

接下来就是一些，比较高级的玩法了。如果一个奇函数在0点有定义，请不要忘记f(0)=0。有很多人在解决问题的时候，感觉题目的条件不够，就是遗忘了这一点。

因为别人在给出问题的时候，就是很阴险的，把这个作为隐含条件给出。问题中不会大张旗鼓的强调，还有这样一个条件，往往都是“悄悄的进村，打枪的不要。”所以请大家注意，不要上了当。

接下来奇函数的奇次方为偶函数，奇函数的奇次方为奇函数。偶函数无论什么次方都是偶函数。这个很简单，只要代入公式就可以进行证明，所以这边不进行详述。

接下来才是问题的关键。请问一个奇函数和一个偶函数相乘，得到的一定是一个奇函数，这句话对吗？

经过证明，完全是正确的。那么接下来又有一个问题，一个奇函数和一个偶函数相乘，可以得到偶函数，这句话对吗？

这也是正确的，有些人直接就惊了，上面情况！！！！然后题肯定是选不出来了。前面明明说了一定是一个奇函数，为什么后面又可以出现偶函数呢？

因为有这样一个奇葩的存在，f(x)=0，x∈R，请问这是一个什么函数？

如果我们带入前面的定义，就会发现它既是奇函数，也是偶函数。所以我们再看一下上面的问题。一个函数和一个偶函数相乘，得到的一定是一个奇函数，肯定是正确的。因为哪怕乘出来的函数恒为零，它也是奇函数。但是如果乘出来的是零，也可以说它是偶函数，所以后面一句话也是正确的。

请大家不要忘记这样一个黑白通吃的函数。

最后一个问题，一个奇函数和一个偶函数的和是否为一个非奇非偶函数？

在知道了黑白通吃以后，这个就不是一个难题了，答案是错误的。只有一个非零奇函数和一个非零偶函数的和，才是一个非奇非偶函数。

其实还有一个问题，怕各位接受不了，下一篇文章再说吧。