中考数学化简求值题例题（中考热点神奇的PA）

中考数学化简求值题例题（中考热点神奇的PA）【构图的意义】这样正好使得高速度u在A-C上花的时间等于低速度v在D-C上花的时间。我们把这个问题简化为数学模型，假设在沙地上的速度是v，在驿道上的速度是u，且v:u=k(k<1)。由于我们比较的是时间的长短，路线①很容易计算，但是路线②因为两段路程的速度不同很难计算。数学上总是喜欢把没见过的问题转化为已知的问题，如果能让路线②的两段速度一样就好办了！可是如果让路线②在驿道上的速度慢下来，时间就变长了，为了保证时间不变，我们需要通过特殊方法缩短路线②的路程。【模型建立】在AC下方取一条射线AE，过点C作AE的垂线交于点D，使得CD:AC=k，我们发现，只要使得射线AC与AE的夹角的正弦值等于k，就能让CD:AC=k永远成立。

近几年许多省市中考题中，常出现带系数的两线段和的最值问题，这类问题基本都要用到“阿氏圆”（文章已发布）和“胡不归”模型。本文讲解“胡不归模型”的应用。

【问题源头】

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙地的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线，虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？…"。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的"胡不归问题"。

【数学处理】

我们把这个问题简化为数学模型，假设在沙地上的速度是v，在驿道上的速度是u，且v:u=k(k<1)。由于我们比较的是时间的长短，路线①很容易计算，但是路线②因为两段路程的速度不同很难计算。数学上总是喜欢把没见过的问题转化为已知的问题，如果能让路线②的两段速度一样就好办了！可是如果让路线②在驿道上的速度慢下来，时间就变长了，为了保证时间不变，我们需要通过特殊方法缩短路线②的路程。

【模型建立】

在AC下方取一条射线AE，过点C作AE的垂线交于点D，使得CD:AC=k，我们发现，只要使得射线AC与AE的夹角的正弦值等于k，就能让CD:AC=k永远成立。

这样正好使得高速度u在A-C上花的时间等于低速度v在D-C上花的时间。

【构图的意义】

原本路线②是从A-C-B，其中A-C路线速度为u，C-B路线速度为v，现在路线②是从D-C-B，全程速度为v，且时间不变 且无论C点在什么位置，由于AE是定直线，这个比值关系是一直成立的。 那么我们就把变速问题转化为了匀速问题；现在新的出发点是点D，路线为D-C-B，全程速度为v！

那么，点C选在哪的时候，路程最短呢？ 这个答案是显而易见的，由于速度不变，时间最短时路程最短， 因为点B和直线AE都是固定的，所以最短距离就是点B到直线AE所做的垂线段。

这个方案是最快的，不仅比路线①快（直角三角形斜边大于直角边），而且比路线②的其它C点的位置的情况都要快。

角度很方便就能计算出来，这样去画图，看来操作性不错！

我们已经解决了古人回家的问题，那么这个思想怎么运用在数学题目当中呢？

【数学题中的运用】

加权线段和kPA PB（k<1）的最小值问题:

如图，点P是直线上的一个动点，点A在直线上，点B在直线外，找到加权线段和kPA PB（k<1）最小时点P的位置。（其中假设k=0.4）

通过动态图，我们发现确实存在一个点P，使得这个值最小.那么要如何找到这个点的位置呢？

方法：构造射线AD，使得sin∠DAP=k（此例k=0.4），过点P作AD垂线段PC，于是PC=kPA，所以kPA PB的最值问题就转化为PC PB的问题，过点B作垂线段就能就解决问题。

这时，有同学会问，如果是2a 3b问题怎么办？其实这都是出题人耍的花招，转化为3(2/3a b)就行了不是吗？

【拓展延伸】

偷偷告诉你，胡不归问题在自然界中的非常常见，比如光在遇到这类问题的时候也会选择最短时间的路线去走（光的折射斯涅耳定律：光的折射定律（斯涅尔定律）:光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射。其中入射光和折射光位于同一个平面上，并且与界面法线的夹角满足如下关系： n1sinθ1 = n2sinθ2 其中，n1和n2分别是两个介质的折射率，θ1和θ2分别是入射光（或折射光）与界面法线的夹角，叫做入射角和折射角。 以上公式又叫斯涅尔公式）胡不归问题可以看成是入射角为90°的光的折射问题。

这么具有丰富内涵的模型，新修订的课程标准涉及初高中的内容 "数学学科核心素养"，明确提出将"数学文化"融入课程内容，近年来年来中考数学为了体现考查数学文化，很多考题中蕴含这一模型的影子，我们再来看看下面几道问题吧

例1.一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路30km的地方有一居民点B，A，B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？

【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．

【解答】解法:1：作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM．∵时间t＝AD/60 BD/30＝1/30（1/2AD BD），DH＝1/2AD，

∴时间t＝1/30（DH BD），

∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小，

作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝1/30•BH′，

∵AB＝90，BC＝30，∴AC＝60√2，∴CM＝AC•tan30°＝20√6，

在Rt△BMH′中，BH′＝BM•cos30°＝（20√6 30）×√3/2＝30√2 15√3，

∴t的最小值＝√2 √3/2．此时AD′＝60√2-10√3．

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，没有比较就没有伤害，两种解法：一种几何法，一种代数法，繁简不同，你可哪一种容易掌握呢？

例2.如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2√2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）

A．（0，√2） B．（0，√2/2）

C．（0，√2/3） D．（0，√2/4）

【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．

【解答】解法一：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，

解法二：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，

例3（2018•无锡中考）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a 2b的取值范围是_______．

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a 2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．

【解答】过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，

∴EP＝OD＝a，Rt△HEP中，∠EPH＝30°，∴EH＝1/2EP＝1/2a，

∴a 2b＝2（1/2a b）＝2（EH EO）＝2OH，

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝1/2OA＝1，即a 2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1 1/2＝5/2，即（a 2b）的最大值是5，∴2≤a 2b≤5．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a 2b的最值就是确认OH最值的范围．

例4（2018•连云港模拟）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP BP CP的最小值为（ ）

A．√2 √5 B．√2 √6

C．4 D．3√2

解析：∵正方形ABCD为轴对称图形，∴AP=PC

∴AP BP CP=2AP BP=2(AP 1/2BP) ∴即求AP 1/2BP的最小值。

这需要我们构造一个1/2 BP出来，连接AE 作∠DBE＝30°，角AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F， 在Rt△PBF中，∵∠PBF＝30°，∴PF=1/2BP.由此我们把1/2BP构造出来了，∴AP 1/2BP的最小值即为AF的长。∵∠BAE＝45°，

∠AEB＝60°，∴解直角三角形△ABE，得AO=BO=√2 OE=√6/3，OB=2√6/3，

根据面积法：1/2AE·BO=1/2BE·AF 可求出AF=√2 √6 故选B.

例5.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）证明：CE是⊙O的切线；

（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8时，求1/2CD OD的最小值．

【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE＝90°即可；

（2）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝1/2DC，从而有1/2CD OD＝DH FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH FD（即1/2CD OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝∠OCA＝30°，∠COE＝2∠CAE＝60°，

∴∠OCE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；

（2）解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示，

则∠AOF＝∠COF＝1/2∠AOC＝1/2（180°﹣60°）＝60°．

∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，

∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．

过点D作DH⊥OC于H，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝1/2DC，∴1/2CD OD＝DH FD．

根据两点之间线段最短可得：

当F、D、H三点共线时，DH FD（即1/2CD OD）最小，

∵OF＝OA＝4，∴此时FH＝DH FD＝OF•sin∠FOH＝√3/2×4＝2√3，

即1/2CD OD的最小值为2√3．

【点评】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把1/2CD OD转化为DH FD是解决第（2）小题的关键．

牛刀小试：1.（2018•大东区一模）如图，已知抛物线y＝a/3（x 1）（x﹣3）（a为常数，且a＜0）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，√3），点P是线段BC上一个动点，点P横坐标为m．

（1）a的值为 _____；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如图1，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D．

①是否存在实数m，使四边形OCDP是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；

②过点D作DE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求S的最大值．

（4）如图2，F为AB中点，连接FP．一动点Q从F出发，沿线段FP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿着线段PC以每秒2个单位的速度运动到C后停止．若点Q在整个运动过程中的时间为t秒，请直接写出t的最小值及此时点P的坐标．

【提示】（1）直接把C点坐标代入y＝a/3（x 1）（x﹣3）可求出a的值为√3；

（2）利用抛物线与x轴的交点问题得到A（﹣1，0），B（3，0），则根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出∠ACO＝30°，∠BCO＝60°，则∠ACB＝90°，于是可判断△ACB为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算S△ACB；

（3）①先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣√3/3x √3，则可设点P的坐标为（m，﹣√3/3m √3），D（m，﹣√3/3m² 2√3/3m √3），易得PD＝﹣√3/3（m²﹣3m），根据平行四边形的判定，当PD＝OC时，四边形OCDP是平行四边形，则﹣√3/3（m²﹣3m）＝√3，由于此方程没有实数解，于是可判断不存在实数m，使四边形OCDP是平行四边形；

②如图1，先利用PD∥OC得到∠EPD＝∠OCB＝60°，根据特殊角的三角函数值得到PE＝1/2PD，DE＝√3PE＝√3/2PD，则S＝√3/8PD²，再利用二次函数的性质得到PD的最大值为3√3/4，于是可得到S的最大值；

（4）过点C作平行于x轴的直线交抛物线于点H，如图2，作FH′⊥CH于H′，交BC于P′，利用∠PCH＝30°得到PH＝1/2PC，根据速度公式得到t＝PH/1 PC/2，则t＝PF PH，利用两点之间线段最短可判断当F、P、H共线时，PF PH最小，此时t＝PH′＝√3，然后求出F（1，0）后确定P′点的坐标即可． t的最小值为√3，此时点P的坐标为（1，2√3/3）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定；会利用待定系数求函数解析式；会解直角三角形，记住特殊角的三角函数值；理解坐标与图形性质．

由此，我们不难得到“胡不归”问题核心解题思想就是“折转直”，胡不归问题---带系数的两线段和PA kPB型的最值问题这一问题常规解题策略如下图总结：

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