通俗讲解高数（高数这个概念很难理解）
通俗讲解高数（高数这个概念很难理解）记δ=min(0<i≤k) {δi/2}>0 对任何x1 x2∈[a b]，只要|x2-x1|<δ 【高数的常规操作，取H'的所有开区间的最小半径，则只要闭区间上任意两点的距离小于这个最小半径，那么它们就肯定属于某一个邻域】由有限覆盖定理 有H’={U(xi δi/2)|i=1 2 … k}⊂H 覆盖[a b]，【有限覆盖定理：闭区间的无限开覆盖必存在有限开覆盖。即可以在H中选出有限个开区间，构成H的有限子集H'，实现对闭区间的有限开覆盖】证法一：(应用有限覆盖定理)由f在[a b]上的连续性，∀ε>0，对每一点x∈[a b]，都存在δx>0，使得当x0∈U(x δx)时，有|f(x0)-f(x)|<ε/2. 【每一个点都符合连续性的定义，即每一个点都有对应的一个邻域半径δx】令H={U(x δx/2)|x∈[a b]}，则H开覆盖
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一致连续性是一个比较难理解的高数概念，那是“老黄学高数”第131讲分享的内容。这篇文章要介绍的是，如何运用实数的完备性定理，证明连续函数在闭区间上的一致连续性定理。
一致连续性，简言之，就是闭区间上的连续函数也一致连续。老黄要给大家分享两种证法。
一致连续性定理：若f在[a b]上连续，则在[a b]上一致连续.
证法一：(应用有限覆盖定理)由f在[a b]上的连续性，
∀ε>0，对每一点x∈[a b]，都存在δx>0，使得当x0∈U(x δx)时，有|f(x0)-f(x)|<ε/2. 【每一个点都符合连续性的定义，即每一个点都有对应的一个邻域半径δx】
令H={U(x δx/2)|x∈[a b]}，则H开覆盖[a b].【把这些邻域的半径缩小一半，组成一个开区间集H，由于它们是由闭区间上的每一个点的邻域构成的，所以闭区间上的每一个点都在H中至少属于一个开区间，从而实现对闭区间的无限开覆盖。至于为什么要把邻域的半径缩小一半，只是为了证明的结果看起来更加完美，其实没有什么实际必要】
由有限覆盖定理 有H’={U(xi δi/2)|i=1 2 … k}⊂H 覆盖[a b]，【有限覆盖定理：闭区间的无限开覆盖必存在有限开覆盖。即可以在H中选出有限个开区间，构成H的有限子集H'，实现对闭区间的有限开覆盖】
记δ=min(0<i≤k) {δi/2}>0 对任何x1 x2∈[a b]，只要|x2-x1|<δ 【高数的常规操作，取H'的所有开区间的最小半径，则只要闭区间上任意两点的距离小于这个最小半径，那么它们就肯定属于某一个邻域】
x1必属于H’的某个开区间U(xi δi/2)，即|x1-xi|<δi/2 则有【不过这里并没有直接说它们属于同一邻域，而是先说x1属于某一邻域】
|x2-xi|≤|x2-x1| |x1-xi|<δ δi/2≤δi/2 δi/2=δi 【然后再利用绝对值的三角不等式，证明x2也属于同一个邻域。瞧，最后推出的距离小于δi，这就是为什么前面要取δi/2的原因，这是高数的一种强迫症，其它没有必要，你就推出的结果是一恒河沙个δi，那也改变不了它可以任意小的实质】
又|f(x1)-f(xi)|<ε/2 |f(x2)-f(xi)|<ε/2 有|f(x2)-f(x1)|≤|f(x1)-f(xi)| |f(x2)-f(xi)|<ε.【然后在函数方面还要再用一次绝对值的三角不等式，证明两个函数值的距离小于任意正数ε，符合一致连续性的定义】
∴f在[a b]上一致连续.
证法二：(应用致密性定理)若f在[a b]上不一致连续，则【应用致密性定理和反证法】
存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x’ x”∈[a b]，尽管|x”-x’|<δ 但有|f(x”)-f(x’)|≥ε0.【这是函数不一致连续的定义，没见过吧！有想过吗？】
令δ=1/n (n为正整数)
与它相应的两点记为x’n x”n∈[a b]，
尽管|x’n -x”n |<1/n 【符合一致连续的条件】
但有|f(x’n)-f(x”n)|≥ε0.【但没有一致连续的结论】
当n=1 2 …时 得{x’n}与{x”n}⊂[a b].【两个数列中互相对应的两个项都符合一致连续的条件，但没有一致连续的结论】
由致密性定理，存在{x’n}的收敛子列{x′_(nk)} 【有界无限点列必含有收敛点列】
设x′_(nk)→x0∈[a b](k→∞)，【随便给这个收敛点列一个极限，记为x0，不要去纠结它是多少，告诉你，这个世界上有一个1.6米的人，你会去纠结他是谁吗？】
由|x'_(nk)-x"_(nk)|<1/nk 【对应的两个项，有对应的δ=1/nk，使它们满足一致连续性的条件】
有|x"_(nk)-x0|≤|x"_(nk)-x'_(nk)| |x'_(nk)-x0|→0(k→∞)，得x"_(nk)→x0(k→∞).【利用绝对值的三角不等式，可以推出x"_(nk)与x0的距离无限趋近于0，即点列{x"_(nk)}也以x0为极限】
0=|f(x0)-f(x0)|=lim(k→∞)|f(x'_(nk))-f(x"_(nk))|≥ε0，矛盾!【从而对应的两项对应的函数值差的极限，等于0，同时又等于一个不小于正数ε0的数，这是不可能的，因此造成矛盾】
∴f在[a b]上一致连续.
期待有更多的小伙伴能够看懂这两个证明。
