高数的各大定理（高数最值定理的证明）

高数的各大定理（高数最值定理的证明）0<g(x)=1/(M-f(x))<G x∈[a b]，【记g的一个上界为G，则g(x)在(0 G)上】则g在[a b]上连续且有上界. 设g有上界G，则【g在这个闭区间上连续且有上界。以连续函数f(x)做为内函数的复合函数，只要外函数在内函数的值域上有定义，那么复合函数就连续，而连续的复合函数在闭区间上同样有界，这是连续函数在闭区间上的有界性决定的。g是f的增函数，所以g有上界】证：由连续函数在[a b]有界及确界原理，【有界必有确界】f的值域f([a b])有上确界，记为M.若对一切x∈[a b]都有f(x)<M. 令g(x)=1/(M-f(x)) x∈[a b]，【如果闭区间上的一切函数都比M小，这是要运用反证法。记辅助函数g(x)等于M与f(x)差的倒数。】

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最值定理是《老黄学高数》系列视频第125讲分享的内容，是闭区间上连续函数的基本性质之一。当时老黄只分享了定理的内容，并没有进行证明。在学习了实数的完备性六大基本定理之后，我们就可以对它进行证明了。

最值定理：若函数f在[a b]上连续，则f在[a b]上有最大值与最小值.

简言之，就是闭区间上的连续函数既有最大值，也有最小值。它和有界性定理是一对孪生双胞胎。证明的方法就要运用到有界性定理，结合确界原理。

证：由连续函数在[a b]有界及确界原理，【有界必有确界】

f的值域f([a b])有上确界，记为M.

若对一切x∈[a b]都有f(x)<M. 令g(x)=1/(M-f(x)) x∈[a b]，【如果闭区间上的一切函数都比M小，这是要运用反证法。记辅助函数g(x)等于M与f(x)差的倒数。】

则g在[a b]上连续且有上界. 设g有上界G，则【g在这个闭区间上连续且有上界。以连续函数f(x)做为内函数的复合函数，只要外函数在内函数的值域上有定义，那么复合函数就连续，而连续的复合函数在闭区间上同样有界，这是连续函数在闭区间上的有界性决定的。g是f的增函数，所以g有上界】

0<g(x)=1/(M-f(x))<G x∈[a b]，【记g的一个上界为G，则g(x)在(0 G)上】

得f(x)<M-1/G与M为f([a b])的上确界矛盾.【与上确界的定义矛盾】

∴必存在ξ∈[a b]，使f(ξ)=M，即f在[a b]上有最大值M. 【既然不存在一个比任意f(x)都大的上确界，那么f(x)就一定存在一个最大值，是它的上确界】

同理可证f在[a b]上有最小值. 【尽管同理可证，但仍有一些不同的，所以老黄补充证明最小值存在的部分】

f的值域f([a b])有下确界，记为m.

若对一切x∈[a b]都有f(x)>m. 令h(x)=1/(f(x)-m) x∈[a b]，

则h在[a b]上连续且有上界. 设h有上界H，则

0<h(x)=1/(f(x)-m)<H x∈[a b]，

得f(x)>m 1/H与m为f([a b])的下确界矛盾.

∴必存在η∈[a b]，使f(η)=M，即f在[a b]上有最小值m.

可以说，连续函数在闭区间上的最大值就是上确界，最小值就是下确界。或者反之说，上确界就是最大值，下确界就是最小值。你都理解了吗？