画一条比下面线段长两厘米的线段(已知两条线段和及两角求线段长)
画一条比下面线段长两厘米的线段(已知两条线段和及两角求线段长)在RT△ABE中,∴BE=DE1、用三角函数求解如图,分别延长AD、CB,交于点E.易证∠AEB=90°,△ABE≌△CDE(AAS)
一、题目如图,已知AB=CD=3,∠A=∠C=15°,∠D=105°,则线段AD的长为_______.
二、分析本题出自2022山西中考导向卷(五)第15题,题目类型为求线段长.
求线段长常用方法为勾股和相似,现有图形中存在含有所求线段AD的相似三角形,但相似三角形中却不知任一线段长,故无法直接用相似求解.
本题中已知条件较少,需要拓展已知条件,通常需要构造特殊三角形,也可尝试构造直角三角形利用勾股或三角函数求解.
三、解答1、用三角函数求解
如图,分别延长AD、CB,交于点E.
易证∠AEB=90°,△ABE≌△CDE(AAS)
∴BE=DE
在RT△ABE中,
∵sin15°=BE/AB,cos15°=AE/AB
∴BE=ABsin15°=3sin15°=DE
AE=ABcos15°=3cos15°
∴AD=AE-DE=3cos15°-3sin15°
现在的问题就是如何求出sin15°和cos15°.
如下图所示,先画一个含30°角的直角三角形,延长CB至点A,使AB=BD.
由勾股定理可得AD=√6 √2(开方时需要一些小技巧,文末有解释)
∴sin15°=1/(√6 √2),cos15°=(2 √3)/(√6 √2)
∴AD=3[(2 √3)/(√6 √2)-1/(√6 √2)]
=3(√3 1)/(√6 √2)=3/√2=3√2/2
2、用勾股定理求解
如图,分别延长AD、CB,交于点E,在AD上取点F,使AF=BF.
易得 BE=DE,∠BFE=30°
设BE=x,则EF=√3x,BF=AF=2x
在RT△ABE中,由勾股定理,得
(2x √3x)^2 x^2=3^2
解得x=3/(√6 √2)(开方时涉及双重根号,方法见文末)
∴AD=2x √3x-x=(√3 1)x=3(√3 1)/(√6 √2)=3√2/2
3、构造特殊三角形求解
如图,分别延长AD、CB,交于点E,连接AC,过点D作DF⊥AC于点F.
易证△ACE为等腰直角三角形
在△ADC中,∠DAC=45°,∠DCA=30°,CD=3
已知两角一边,则该三角形一定可解,故作高DF
DF=1/2CD=3/2
AD=√2DF=3√2/2
四、小结与反思1、寻找特殊角,构造特殊三角形
看了上面的解答,方法3相比方法1和方法2要简单许多,所以遇到条件较少的题目时,可尝试寻找特殊角,构造特殊三角形求解,而最特殊的三角形就是含30°的直角三角形与等腰直角三角形,所以要寻找的特殊角就是30°、45°、60°.
2、待定系数法化简双重根号
例、化简√(8 4√3)
解:设8 4√3=(√a √b)^2
∵(√a √b)^2=(a b) 2√(ab)
∴a b=8,ab=12
解得a=2 b=6或a=6 b=2
∴8 4√3=(√2 √6)^2
∴√(8 4√3)=√2 √6