薛定谔方程怎么得出来的（摁住牛顿棺材板）

薛定谔方程怎么得出来的（摁住牛顿棺材板）双缝干涉实验：顶部的图案是通过双缝的波形成的干涉图案，中间的图示你所预期的粒子穿过狭缝后形成的图案。最后一个图是电子等粒子穿过狭缝后实际上形成的图案：你得到了波动所形成的干涉图案但是电子在到达光屏时被认为是粒子。是普朗克常量，是用马克思.普朗克的名字命名的小的难以置信的量，普朗克在1900年关于黑体辐射的研究中已经提到了这个公式。“因此我们面临的情况是有时需要把光描述为波，有时需要把光描述为粒子”Bouatta说。薛定谔方程以薛定谔的名字命名 1887-1961.但是它真的可以做到吗？当人们第一次开始考虑最微小的尺度下的世界时，例如电子绕着原子核的运动，他们意识到事情变得非常诡异而且牛顿运动定律不再适用。要想描述如此细微的世界你需要二十世纪初建立的量子力学的帮助。这套理论中核心的方程，就像牛顿运动定律的第二定律，叫做薛定谔方程。波和粒子

有一道经典的练习题是这么说的：你的车已经没油了，你需要多大的力才能维持它的速度？

答案可以由牛顿第二定律给出：

F=ma，

其中 ，a是加速度 ，F是力 ，m是质量。这个简单又精妙的定律使你可以描述任意类型的运动，所以理论上它可以回答物理学家所提出的所有的关于这个世界的问题。

薛定谔方程以薛定谔的名字命名 1887-1961.

但是它真的可以做到吗？当人们第一次开始考虑最微小的尺度下的世界时，例如电子绕着原子核的运动，他们意识到事情变得非常诡异而且牛顿运动定律不再适用。要想描述如此细微的世界你需要二十世纪初建立的量子力学的帮助。这套理论中核心的方程，就像牛顿运动定律的第二定律，叫做薛定谔方程。

波和粒子

是普朗克常量，是用马克思.普朗克的名字命名的小的难以置信的量，普朗克在1900年关于黑体辐射的研究中已经提到了这个公式。“因此我们面临的情况是有时需要把光描述为波，有时需要把光描述为粒子”Bouatta说。

双缝干涉实验：顶部的图案是通过双缝的波形成的干涉图案，中间的图示你所预期的粒子穿过狭缝后形成的图案。最后一个图是电子等粒子穿过狭缝后实际上形成的图案：你得到了波动所形成的干涉图案但是电子在到达光屏时被认为是粒子。

爱因斯坦的结果和一个由来已久的目标联系起来，这个目标始于17世纪的惠更斯，在19世纪又被哈密顿重新研究：统一光学和力学。受到光的奇异行为的启发，年轻的法国物理学家德布罗意走出了关键的一步：他认定不仅仅是光，包括其他的物体也是波粒二象性的。构成物质的精细单元，例如电子，也在某些环境中表现的像粒子，在其他情况下表现的像波。

德布罗意1920年提出的这个观点，并不是根据实验证据，而是出于理论的考虑提出来的。这受到了爱因斯坦的相对论的启发。但是实验证据很快就出现了。在十九世纪二十年代晚期粒子被晶体散射的实验证实了电子也可以表现的像波一样。

双缝干涉实验是展示波粒二象性最著名的实验之一。在这项实验中，电子被射向带有两个狭缝的屏。屏之后是一个可以探测通过狭缝之后的电子的位置的屏。如果电子表现的像粒子，接下来你将会看到电子在狭缝后面的两条直线附近积累起来。但是你在探测屏上实际看到的是干涉图案：只有电子是波你才能得到这样的图案，每一个穿过狭缝的波会在通过狭缝后和自己干涉。但在探测屏上，电子显示出粒子性，就像你期待的那样。这是一个非常奇怪的 结果但是它已经被重复检验很多次，我们必须接受这就是世界运行的方式。

薛定谔方程

由德布罗意提出的新图像需要新的物理。如何将粒子性和波动性通过数学联系起来？爱因斯坦已经将光子的能量和频率联系起来，反过来就是通过公式将能量和波长联系起来，其中c是光速。利用相对论的结论我们可以将光子的动量和能量联系起来。将所有这些放在一起我们可以得到以下光子的波长和动量之间的关系：

受此启发，德布罗意假设粒子的动量和波长之间满足同样的关系。

在这里最好先不要去考虑粒子表现的像波的具体含义，你要做的是跟随我们的数学推导。

在经典力学中波的演化，例如声波或者水波，被波动方程所描述：波动方程是一个微分方程，它的解是波函数，波函数可以告诉你任意时刻波的形状。

例如，假设在沿着x轴延伸的弦上有几个波，波在x-y平面上振动。为了完整的描述整个波的形状，你需要知道每个位置每一时刻弦在Y方向上的位移。利用牛顿第二定律可以得出满足一下公式：

其中v是波速。

某时刻波动的样子，由cos函数描述。

想要完全解出

非常复杂，考虑到弦可以按照任意的方式摆动，并且你需要更多的信息去确定它具体是哪种运动。但是作为例子，下面的公式：

作为类比，应该有一个波动方程掌控着物质波随时间的演化。它的解是一个波函数

，这个波函数告诉我们关于所研究的系统任意时间的所有信息，例如一个粒子在盒子中的运动。奥地利物理学家薛定谔在1926年提出了这样的方程。对于在三维空间中运动的单粒子，方程写为：描述了一束沿着x正方向运动角频率是

的波，就像你期待的那样，它也时波动方程的一个解。

在一些情况中，势场和时间无关。在这种情况下，我们可以先求解更简单的不含时的薛定谔方程，波函数

只和空间有关，

其中V是粒子感受到的势场，

m是粒子能量h是普朗克常量。方程的解释波动方程

E是总能量。含时薛定谔方程的完整的解答可以写成：

不确定性

这些方程应用于一个粒子在三维空间中运动，但是它们也可以被推广到描述任意个粒子的情形中。 除了可以把波函数写成关于位置和时间的方程，也可以写成关于动量和时间的方程。

假如我们解出了波函数，那么波函数究竟意味着什么？它并不能给出一个粒子在时间t的精确位置，所以它也不能给出粒子随时间的运动轨迹。它在每一时刻每个位置给出波函数的值。这个值意味着什么？1926年，物理学家马克思玻恩建立波函数的概率解释。他提出波函数的模平方：

代表的是在某处发现粒子的概率密度，也就是说，在某个区域发现粒子的概率可以写为积分：

海森堡 1901-1976.

1927年，海森堡发现测量粒子的位置和动量的精度存在一个根本性的极限。你想将其中一个量测量的更加精确就会导致对另外一个量的测量更加不精确。这并不是由于你的测量仪器的限制，这是自然本身所包含的不确定性。这个结果现在被称为“海森堡不确定性原理”，这个原理经常被用来说明量子力学的奇异性。它意味着在量子力学中我们不能很好地定义一个粒子的位置或轨道。

“如果你相信不确定原理，我们就必须接受对于将要发生的事情的概率性解释因为我们并没有关于t0时刻电子在什么位置的精确答案。”Bouatta 说。换句话说，所有你可以从量子态的数学表述以及波函数中知道的仅仅是一个概率。

关于波函数是否包含物理实质将仍然是一个敏感的问题。“问题是在于，如果我们有一个波函数，但是空间和时间中真的有一个波在传播吗？”Buata说“德布罗意，薛定谔和爱因斯坦尝试证实它是一个实实在在的东西，就像是光波一样。但是泡利，海森堡和玻尔不同意爱因斯坦的观点。他们认为波函数仅仅是计算概率的工具。”

薛定谔方程真的有效吗？

德布罗意 1892-1987.

我们为什么要相信这个看似奇特的方案？在这篇文章中我们似乎给出了薛定谔方程的诞生过程，但是它到底从哪里来？薛定谔是怎么得到它的？著名的物理学家费恩曼认为这是一个无效的问题，“我们从哪里得到这个方程？你不可能从你知道的东西中得到它。他是从薛定谔的大脑中走出来的。”

然而，这个公式已经被大量的实验证实。“它是量子力学中最基本的方程”Bouatta说。“他是我们想要描述的所有的量子系统的起点，包括电子，质子，中子等等。”这个公式最早的成功应用同时也是薛定谔的出发点，是描述氢原子不连续的光谱。按照的卢瑟福原子模型，原子辐射的频率应该是连续变化的。然而，实验结果不是这样的：氢原子只会发出特定频率的辐射，并且频率是不连续的。这项发现和传统观点相悖，

1913年玻尔建立新的原子模型，电子处于特定的能级上。薛定谔利用他的公式研究氢原子并发现计算结果精确地重现了玻尔引入的能级。“这是一个惊人的结果——也是薛定谔方程取得的第一个重大成果”Bouatta说。

随着无数实验在薛定谔方程的指导下取得成功，薛定谔方程在量子力学中获得了牛顿第二定律在牛顿力学中的地位。