解方程3x4竞赛题（英格兰数学竞赛题）

解方程3x4竞赛题（英格兰数学竞赛题）情况一：q=0，即³√(5−x²)=0，解得：x=±√5三个式子乘积为0，那只能是分别等于0，分情况讨论即可，分３种情况，这样我们得到了一个二元三次方程组，解这种方程，不复杂，直接代入消元法消掉一个参数即可，由第一个方程移项得到p=1-q，代入第二个方程即得到，(1−q)² q³=1 展开平方项次后，发现常数项１抵消掉了，即得到，q³ q²−2q=0三个项次提取q后再十字相乘法因式分解，得到，q(q−1)(q 2)=0

题一、
解方程：√(x²−4) ³√(5−x²)=1

分析题目
分析题目，看到根式方程，看一眼，平方或者立方都不行，那就直接双换元，当作固定套路，没有那么多弯弯绕，即，直接引入参数p和q，设定，
p=√(x²−4)，q=³√(5−x²)

则直接代入原方程替换即得到，
p q=1

然后p和q都是x的函数，平方和立方后，抵消掉x，即得到 第二个方程，即
p² q³=1

这样我们得到了一个二元三次方程组，解这种方程，不复杂，直接代入消元法消掉一个参数即可，由第一个方程移项得到p=1-q，代入第二个方程即得到，
(1−q)² q³=1

展开平方项次后，发现常数项１抵消掉了，即得到，
q³ q²−2q=0

三个项次提取q后再十字相乘法因式分解，得到，
q(q−1)(q 2)=0

三个式子乘积为0，那只能是分别等于0，分情况讨论即可，分３种情况，

情况一：q=0，即³√(5−x²)=0，解得：x=±√5

情况二：q−1=0，即³√(5−x²)=1，解得：x=±2

情况三：q 2=0，即³√(5−x²)=−2，解得：x=±√13

综上，解得x=±√5或±2或±√13。

参考答案

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