平行四边形八年级冀教版难题（八下尖子生之路）

平行四边形八年级冀教版难题（八下尖子生之路）法二：（利用平行四边形的性质和定义）法一：（全等）如下图解：（1）□ABCD→对边平行且相等、对角等，进一步，得邻角互补（目前所学），如下图示：（2）DE⊥AB，BF⊥CD→角等（均为90°，进一步可得：平行，点线距离；还能联想到什么结论与垂直有关？（对了，面积公式．）（3）要证两线相等，目前可用的方法有哪些？（等边对等角，全等，角平分线的性质，面积的等积相关计算）

18.1.1平行四边形的性质

本节所学知识：平行四边形的边角性质．

【例题】如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：AE＝CF．

【图文解析】

（1）□ABCD→对边平行且相等、对角等，进一步，得邻角互补（目前所学），如下图示：

（2）DE⊥AB，BF⊥CD→角等（均为90°，进一步可得：平行，点线距离；还能联想到什么结论与垂直有关？（对了，面积公式．）

（3）要证两线相等，目前可用的方法有哪些？（等边对等角，全等，角平分线的性质，面积的等积相关计算）

法一：（全等）如下图解：

法二：（利用平行四边形的性质和定义）

如下图示，可证DE∥BF和AB∥CD，根据平行四边形的定义，得四边形BEDF是平行四边形，得BE＝DF，又AB＝CD，所以AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF．

法三：（面积法）

由S平行四边形ABCD＝AB×DE＝CD×BF，且AB＝CD，得DE＝BF，再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CBF，得AE＝BF．

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【解后反思】

（1）从已知条件中，还能得什么结论？

（2）如下图示，平行四边形的位置发生变化呢？（感受动态变式，体会“变与不变”的本质．）

（3）在上述证明过程中，得到的DE＝BF，若改变平行四边形的位置，结论还成立吗？从距离角度理解，你会得到什么结论？如何用语言表达？

（4）若将题中的结论与某个已知条件对调，还是真命题吗？为什么？

如：如图，在□ABCD中， BF⊥CD，垂足分别为F，点E在AB上，已知AE＝CF．求证：DE⊥AB．

进一步，做以下拓展延伸：

【拓展延伸】

（1）如图，在□ABCD中，点E、F分别在直线AB和CD上，且BE=DF，求证：AE＝CF．

（2）如图，在□ABCD中，点E、F分别在直线AB和CD上，且DE∥BF，求证：AE＝CF．

（还能进一步，得到一般结论：夹在平行线的平行线段相等）

（3）如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，，求证：AE＝CF．

（4）如图，在□ABCD中，点E、F在直线AC上，且BF∥DE，求证：AE＝CF．

（5）如图，在□ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，若AB：BC＝4：3，DE＝2，求DF的长 ．

（提示：类似法三，DF＝8/3．）

【挑战提升】

【挑战1】已知：在□ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G．（1）求证：AE=DG；（2）若BG将AD分成3：1的两部分，且AD=20，求□ABCD的周长．

【挑战2】如图，□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，与DC的延长线相交于点H．

（1）求EF的长；（2）求△DEF的面积．

【挑战提升】答案

【挑战1】答案分别为70或50．过程略．

【挑战2】过程略．

（1）EF=√3（2）S△DEF＝2√3．

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