导数大题零点的取点（一篇文章看懂导数零点问题中的放缩取点法）
导数大题零点的取点（一篇文章看懂导数零点问题中的放缩取点法）这是一个很有意思的知识点，函数在间断点或无穷处的函数值其实是由函数中某部分起主导作用的函数决定的，例如函数中包含m(x)和n(x)，若m(x)→ ∞ n(x)→k，则m(x) n(x)→ ∞；若m(x)→ ∞ n(x)→ ∞，m(x) n(x)→ ∞;若m(x)→ ∞ n(x)→-∞，但若m(x)的增长速率远大于n(x)减小的速率，则m(x) n(x)→ ∞四.函数趋势的确定放缩从对所放缩的部分来说可分为整体放缩和部分放缩；从放缩精度上来说可分为精确放缩和不精确放缩，例如ex≥x 1属于精确放缩，ex>x²就属于不精确放缩，无论精确与否都属于放缩；如果对函数放缩本身来讲，放缩形式有三种，一是利用有界性来放缩，这种严格来说不属于放缩，而是根据在给定定义域范围下函数的范围也可确定，例如当a>0且x∈[1 2]时，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，这种放缩是把函数放缩成具体的数
这篇文章延期了很久，后台也有不少读者留言私信过，今天就导数零点问题中如何找点做一次简要的介绍，此类题目非常多，理解文章的方法逻辑并不难，熟练掌握还得多加练习，这篇文章虽然只介绍用放缩取点法，实际上涉及了导数中所有的放缩思想，建议好好领悟，希望文章对你有帮助，文章一周之后免费，届时重新发布一遍。
一.零点找点问题来源
简要介绍一下问题的来源，数学中零点问题若结合参数，或考查根据零点个数求参数范围，或讨论零点个数，通常有两种解题思路，一是分离参数，但此时会用到极限来判断函数区间两端点处的函数值，这种做法在考试中会扣除两分，二是对参数进行讨论，若确定出函数单调性后，例如函数先减后增，若保证函数有两个零点，则最小值一定要小于零，且在极值点两侧用零点存在定理各找一个零点，由于函数中带有参数，取点处的函数值的正负有时候并不容易确定，当然不排除根据经验找到的点恰好能消除参数或者能判断出函数的正负，若题目需要找两个零点，通常其中一个根据经验相对容易找出，而另外一个零点就需要用放缩取点法来找了。
二.放缩形式有哪些，该选用哪种放缩形式？
放缩从对所放缩的部分来说可分为整体放缩和部分放缩；从放缩精度上来说可分为精确放缩和不精确放缩，例如ex≥x 1属于精确放缩，ex>x²就属于不精确放缩，无论精确与否都属于放缩；如果对函数放缩本身来讲，放缩形式有三种，一是利用有界性来放缩，这种严格来说不属于放缩，而是根据在给定定义域范围下函数的范围也可确定，例如当a>0且x∈[1 2]时，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，这种放缩是把函数放缩成具体的数字，第二种是切线放缩，其本质上属于泰勒不等式展开形式的应用，根据ex≥x 1和lnx≤x-1这两个基础性的不等式可引申出很多放缩形式，第三是恒成立放缩，这其实也不能称之为放缩，例如ex>x²。放缩是化曲为直或化曲为曲或化函数为数的过程 至于选择哪种放缩形式并无定论，依题而定，很具有灵活性。
三.常见的指对数放缩形式
ex和lnx均有三种放缩形式，即放缩成一次函数，单增幂函数例如二次函数，单减幂函数例如反比例函数，为什么要区分开这三种放缩形式？是因为这三种不同的放缩形式增长速率不同，单增幂函数>一次函数>单减幂函数，在函数放缩形式进行选择时要考虑到不同函数的增长速率。
四.函数趋势的确定
这是一个很有意思的知识点，函数在间断点或无穷处的函数值其实是由函数中某部分起主导作用的函数决定的，例如函数中包含m(x)和n(x)，若m(x)→ ∞ n(x)→k，则m(x) n(x)→ ∞；若m(x)→ ∞ n(x)→ ∞，m(x) n(x)→ ∞;若m(x)→ ∞ n(x)→-∞，但若m(x)的增长速率远大于n(x)减小的速率，则m(x) n(x)→ ∞
因此可把决定函数趋势或者形态的那部分函数看作函数的主元，其余的均为余子式，对函数进行放缩的时候有三种放缩形式：第一种是不动主元，放缩余子式，放缩后的新函数趋势和原函数一致，第二种是余子式不能放缩，可放缩主元，但必须保证对主元放缩之后的部分依旧决定了函数的趋势，即主元放缩之后依旧是主元，第三种较为特殊，即m(x)和n(x)在定义域的两端点处的极限值相同，虽然两者有速率上的差别，但两者均可看作主元，此时对谁放缩均可，放缩后的形式越简单越好，这是放缩取点法中很重要的部分。
五.放缩取点法的原理
原理其实很简单，若直接找点不容易，例如在函数在极值点的右侧单增，且极值点小于零，则需在极值点的右侧找一个x1使得f(x1)>0 不等式f(x)>0显然不可解，但可通过放缩将f(x)放缩成一个容易解方程的函数，即f(x)>g(x)，因为放缩后g(x)=0容易解，设为x1，根据不等关系点x1自然也满足f(x1)>0 注意最后需证明x1在规定的定义域内。
结合上述第四点主元的判定和放缩的选择，那么放缩取点法就很容易了。
六.典型案例分析
其实案例1找点很容易，对数的真数为x a，因此取点时肯定取一个ek-a的形式，这样就可以对数化为常数，如果按照放缩取点法，此时对数和反比例函数的趋势和整体函数的趋势相同，对哪个放缩均可，原则是越简单越好，当然也可以把对数放缩成一次函数，但这样不如直接将反比例函数放缩成0简单，其它放缩形式读者可自己试一下。
确定出对对数放缩时为什么将lnx放缩成x/2，因为主元为一次函数，还要保证放缩之后的函数单减，因此一次函数系数要为负值，此时也可将lnx放缩成x/k，只要保证0<k<1即可，如果对刚才经验取点法不熟悉，也可用放缩取点法证明函数在0<x<1上存在一个零点，过程如下：
注意案例3中确定出需对lnx放缩，但为什么放缩成根式形式，因为函数中-2ax为主元，它决定函数整体的趋势，因此需要将lnx放缩成一个速率小于-2ax的形式，这样放缩后的趋势也不改变，所以需要把lnx放缩成一个幂函数，且幂指数小于1方可。
案例4中虽然ex为主元，可对一次函数-ax进行放缩，但由于不确定x的上界，将-ax放缩成一个数字时符号是反的，此时可对主元放缩，且放缩后依旧为主元，因为-ax为一次，因此可将ex放缩成比1次要高的幂函数，即ex＞x²
案例5中需要对2e2x进行放缩 指数函数本身增长速率极大，比它速率还快的函数只能是指数本身，因为x有上界，所以将2e2x放缩成一个数字即可。
案例7很简单，不再解释
案例8中g(x)只有一处含有x，没有主元余子式之分了，经验取点x=0可知g(0)<0，因此可对ex放缩，即ex>1 所以g(x)=aexx²-(a 1)>ax²-(a 1)，解不等式即可。
通过以上放缩取点的原理分析和8个案例，相信读者对放缩取点法应该有了一定的认识和理解，其实放缩取点法的关键就两个，一是分清对谁放缩，二是根据增减速率不同选择合适的放缩方法，上述是对此类问题最浅表性的解析，当然不排除有一些很难找点的题目，但以上作为学生使用差不多足够了。这篇文章延期了很久，后台也有不少读者留言私信过，今天就导数零点问题中如何找点做一次简要的介绍，此类题目非常多，理解文章的方法逻辑并不难，熟练掌握还得多加练习，这篇文章虽然只介绍用放缩取点法，实际上涉及了导数中所有的放缩思想，建议好好领悟，希望文章对你有帮助，文章一周之后免费，届时重新发布一遍。
一.零点找点问题来源
简要介绍一下问题的来源，数学中零点问题若结合参数，或考查根据零点个数求参数范围，或讨论零点个数，通常有两种解题思路，一是分离参数，但此时会用到极限来判断函数区间两端点处的函数值，这种做法在考试中会扣除两分，二是对参数进行讨论，若确定出函数单调性后，例如函数先减后增，若保证函数有两个零点，则最小值一定要小于零，且在极值点两侧用零点存在定理各找一个零点，由于函数中带有参数，取点处的函数值的正负有时候并不容易确定，当然不排除根据经验找到的点恰好能消除参数或者能判断出函数的正负，若题目需要找两个零点，通常其中一个根据经验相对容易找出，而另外一个零点就需要用放缩取点法来找了。
二.放缩形式有哪些，该选用哪种放缩形式？
放缩从对所放缩的部分来说可分为整体放缩和部分放缩；从放缩精度上来说可分为精确放缩和不精确放缩，例如ex≥x 1属于精确放缩，ex>x²就属于不精确放缩，无论精确与否都属于放缩；如果对函数放缩本身来讲，放缩形式有三种，一是利用有界性来放缩，这种严格来说不属于放缩，而是根据在给定定义域范围下函数的范围也可确定，例如当a>0且x∈[1 2]时，a≤ax≤2a，又或者|sinx|≤1，这种放缩是把函数放缩成具体的数字，第二种是切线放缩，其本质上属于泰勒不等式展开形式的应用，根据ex≥x 1和lnx≤x-1这两个基础性的不等式可引申出很多放缩形式，第三是恒成立放缩，这其实也不能称之为放缩，例如ex>x²。放缩是化曲为直或化曲为曲或化函数为数的过程 至于选择哪种放缩形式并无定论，依题而定，很具有灵活性。
三.常见的指对数放缩形式
ex和lnx均有三种放缩形式，即放缩成一次函数，单增幂函数例如二次函数，单减幂函数例如反比例函数，为什么要区分开这三种放缩形式？是因为这三种不同的放缩形式增长速率不同，单增幂函数>一次函数>单减幂函数，在函数放缩形式进行选择时要考虑到不同函数的增长速率。
四.函数趋势的确定
这是一个很有意思的知识点，函数在间断点或无穷处的函数值其实是由函数中某部分起主导作用的函数决定的，例如函数中包含m(x)和n(x)，若m(x)→ ∞ n(x)→k，则m(x) n(x)→ ∞；若m(x)→ ∞ n(x)→ ∞，m(x) n(x)→ ∞;若m(x)→ ∞ n(x)→-∞，但若m(x)的增长速率远大于n(x)减小的速率，则m(x) n(x)→ ∞
因此可把决定函数趋势或者形态的那部分函数看作函数的主元，其余的均为余子式，对函数进行放缩的时候有三种放缩形式：第一种是不动主元，放缩余子式，放缩后的新函数趋势和原函数一致，第二种是余子式不能放缩，可放缩主元，但必须保证对主元放缩之后的部分依旧决定了函数的趋势，即主元放缩之后依旧是主元，第三种较为特殊，即m(x)和n(x)在定义域的两端点处的极限值相同，虽然两者有速率上的差别，但两者均可看作主元，此时对谁放缩均可，放缩后的形式越简单越好，这是放缩取点法中很重要的部分。
五.放缩取点法的原理
原理其实很简单，若直接找点不容易，例如在函数在极值点的右侧单增，且极值点小于零，则需在极值点的右侧找一个x1使得f(x1)>0 不等式f(x)>0显然不可解，但可通过放缩将f(x)放缩成一个容易解方程的函数，即f(x)>g(x)，因为放缩后g(x)=0容易解，设为x1，根据不等关系点x1自然也满足f(x1)>0 注意最后需证明x1在规定的定义域内。
结合上述第四点主元的判定和放缩的选择，那么放缩取点法就很容易了。
六.典型案例分析
其实案例1找点很容易，对数的真数为x a，因此取点时肯定取一个ek-a的形式，这样就可以对数化为常数，如果按照放缩取点法，此时对数和反比例函数的趋势和整体函数的趋势相同，对哪个放缩均可，原则是越简单越好，当然也可以把对数放缩成一次函数，但这样不如直接将反比例函数放缩成0简单，其它放缩形式读者可自己试一下。
确定出对对数放缩时为什么将lnx放缩成x/2，因为主元为一次函数，还要保证放缩之后的函数单减，因此一次函数系数要为负值，此时也可将lnx放缩成x/k，只要保证0<k<1即可，如果对刚才经验取点法不熟悉，也可用放缩取点法证明函数在0<x<1上存在一个零点，过程如下：
注意案例3中确定出需对lnx放缩，但为什么放缩成根式形式，因为函数中-2ax为主元，它决定函数整体的趋势，因此需要将lnx放缩成一个速率小于-2ax的形式，这样放缩后的趋势也不改变，所以需要把lnx放缩成一个幂函数，且幂指数小于1方可。
案例4中虽然ex为主元，可对一次函数-ax进行放缩，但由于不确定x的上界，将-ax放缩成一个数字时符号是反的，此时可对主元放缩，且放缩后依旧为主元，因为-ax为一次，因此可将ex放缩成比1次要高的幂函数，即ex＞x²
案例5中需要对2e2x进行放缩 指数函数本身增长速率极大，比它速率还快的函数只能是指数本身，因为x有上界，所以将2e2x放缩成一个数字即可。
案例7很简单，不再解释
案例8中g(x)只有一处含有x，没有主元余子式之分了，经验取点x=0可知g(0)<0，因此可对ex放缩，即ex>1 所以g(x)=aexx²-(a 1)>ax²-(a 1)，解不等式即可。
通过以上放缩取点的原理分析和8个案例，相信读者对放缩取点法应该有了一定的认识和理解，其实放缩取点法的关键就两个，一是分清对谁放缩，二是根据增减速率不同选择合适的放缩方法，上述是对此类问题最浅表性的解析，当然不排除有一些很难找点的题目，但以上作为学生使用差不多足够了。
