任意两个有理数的和一定是有理数（任意两个有理数之间必有无穷多个有理数）

任意两个有理数的和一定是有理数（任意两个有理数之间必有无穷多个有理数）（2）假设n=k(k≥1)时命题p(k)成立，则当n=k 1时命题p(K 1)也成立.（1）当n=1时命题p(1)成立;【重要知识点的准备】1、有理数之间进行有限次的加、减、乘、除的四则混合运算（作除法时除数不能为零）的结果仍然为有理数。任意一个非零有理数乘以一个无理数必定是无理数。2、数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题p(n) (n=1 2 3 4，......），如果

(许兴华数学)

现在，我们给出一个非常奇妙的结论：

【定理1】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。

你相信吗？请你认真考虑一下：你是否能够证明呢？如何证明这个奇妙的结论呢？

【重要知识点的准备】

1、有理数之间进行有限次的加、减、乘、除的四则混合运算（作除法时除数不能为零）的结果仍然为有理数。任意一个非零有理数乘以一个无理数必定是无理数。

2、数学归纳法原理：设有一个与自然数n有关的命题p(n) (n=1 2 3 4，......），如果

（1）当n=1时命题p(1)成立;

（2）假设n=k(k≥1)时命题p(k)成立，则当n=k 1时命题p(K 1)也成立.

那么综合（1）（2）知，该命题p(n)对于任意的自然数n(n≥1)都成立。

有了以上两个重要的结论后，我们现在就可以来证明【定理1】了。

【证明】设m，p是有理数，且m<p，我们设法在区间(m p)内找出无穷多个有理数来。

其实我们可以用构造性的方法来找出，请看下图（无论m p距离靠得多近，为了方便大家理解问题，在画图的时候我们都可以把m p之间的距离稍为放大一些，让大家看得更清楚）：

由上面的证明，我们还非常容易得到下面另外的一个推论：

【定理2】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个无理数。

大家可以大胆地试一试，能否证明此定理呢？

【定理2的证明】设m，p是有理数，且m<p，我们设法在区间(m p)内找出无穷多个无理数来。

这两个定理告诉我们：任意两个不同的有理数之间一定有无数多个有理数；同时任意两个不同的有理数之间一定存在着无数多个无理数。这说明：无理数与有理数之间是“稠密”地存在着的。在数轴上谁也离不开谁了：无理数是与有理数相伴相生，紧紧相依，不离不弃的。哈哈哈！大家觉得有趣吗？

(许兴华数学)