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费马大定理详解及证明(费马大定理的证明)

费马大定理详解及证明(费马大定理的证明)其中:由下式给出:我们将证明n=4的情况,它是最简单的。然而,在此之前,我们需要证明以下关于勾股定理的更简单的辅助定理。辅助定理所有符合勾股定理的三元组:

费马大定理详解及证明(费马大定理的证明)(1)

费马大定理(FLT)指出没有正整数x,y和z满足以下丢番图方程:

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  • 式1:费马大定理指出,如果n是大于2的整数,则不存在满足该方程的正整数x、y和z。

对于任意的n:

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  • 式2:n在费马大定理中必须遵守的条件。

式中,Z为整数集合。1637年,法国律师、数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)在一本《算术》(arithtica)的页边空白处提出了这个猜想。《算术》是公元3世纪亚历山大的丢番图(Diophantus)撰写的一部古希腊数学著作。

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  • 图1:左边是丢番图的《算术》的拉丁文原版的扉页。右边是亚历山大丢番图的雕像

据说,费马证明出了费马大定理,但证明过程太长,书页的空白处放不下。英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)在费马大定理提出的350多年之后,于1995年首次成功地证明了这个猜想。

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  • 图2:法国律师和数学家皮埃尔·德·费马。1670年版的丢番图的《算术》,其中包括费马猜想,被称为他的“最后定理”(红框内)。
n=4时的费马定理

我们将证明n=4的情况,它是最简单的。然而,在此之前,我们需要证明以下关于勾股定理的更简单的辅助定理。

辅助定理

所有符合勾股定理的三元组:

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  • 式3:著名的勾股定理。

由下式给出:

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  • 式4:式3的通解。

其中:

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其中u和v是奇数,N是自然数的集合。注意,x和y是可以交换的。因为,如果(x y z)是一个解,那么(y x z)也是。

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  • 图3:这个动画显示了一个毕达哥拉斯三元组的例子

证明如下。

第1部分

首先,证明式4中的三元组满足式3是很简单的。只需将前者代入后者,经过几行代数运算,我们就得到了想要的结果。

第2部分

我们现在要证明所有满足式3的三元组都由式4给出。我们首先假定(x y z)是一个本原三元组,这意味着它们没有公因数,而y是偶数。这意味着y^2的两个因子:

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  • 式5:式3的另一种写法。

如果没有公因式,每个公因式都是一个平方数,我们称之为u^2和v^2。因此:

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  • 式6:式4的解是这些(x y z)的倍数。

这就结束了辅助定理的证明。在最后证明之前,我们还需要一个更重要的概念:无限下降法。

数学插曲:用无限下降法证明

根据维基百科“无限下降法证明是反证法”,用来表示一个命题不能适用于任何数,通过证明如果这个语句适用于一个数字,那么同样的道理也适用于更小的数字,导致无限下降,最终产生矛盾。

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  • 图5:无限下降法的图示。

我们现在准备解决n=4的特殊情况下的费马大定理。

证明n=4时的费马大定理

根据费马大定理的n=4的情况,不存在互质的三元组(x y z)∈N^3,使得:

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  • 式7:费马大定理指出,不存在(x y z)∈N^3满足此关系。

运用上述的无限下降法,我们首先证明存在三元组(x y z)符合以下条件:

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意味着存在着另一个三元组,满足:

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  • 式8:如果有一个三元组满足x^4 y^4= z^2,那么也有一个三元组满足这两个关系。

由辅助定理可知,存在这样的相对素数:

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  • 从辅助定理中,我们知道存在相对素数m并且(x^2,y^2,z)满足式3。

现在请注意,三元组(n y m)是互质的勾股数,因为:

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  • 式10

因此,引入新的相对素数:

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  • 式11:因为(n y m)是互质的数勾股数,所以存在符合上述等式的相对质数。

既然(m n/2)和(r s)是相对素数对:

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  • 式12

我们得出m,n/2,r和s都是平方数。因此,我们可以这样写:

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  • 式13:由于(m n/2)和(r s)是相对素数对,因此,m,n/2,r和s都是平方数。

那么式11中的第三个元素就给了我们:

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  • 式14:式11和式13中定义的一个结果。

但我们知道,通过构造:

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  • 式15:这个不等式意味着我们有一个三元组(u v w)其中w小于之前的w。

这个过程的重复将会给我们无穷多个解,并且每个解都有一个新的w小于前一个w。因此,使用无限下降的方法我们得出了证明。

费马大定理详解及证明(费马大定理的证明)(23)

  • 图6:左边是皮埃尔·德·费马的墓地。右边是费马在1660年3月4日手写的遗嘱。

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