平面向量基本定理示范课（平面向量基本定理）
平面向量基本定理示范课（平面向量基本定理）【设计意图】（3）平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；笔者认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于以下几个特点。（1）给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；（2）通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；
王琦（北京市第五中学）
教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第三节的第一课时（2.3.1）“平面向量基本定理”．平面向量基本定理属于概念性知识．
平面向量基本定理是在向量知识体系中占有核心地位的定理．一方面，平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与其坐标建立起了一一对应的关系，这为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁；另一方面，平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，揭示了平面向量的结构特征，将来还可以推广为空间向量基本定理．因此，平面向量基本定理在向量知识体系中起着承上启下的重要作用．
笔者认为该定理之所以用“基本”命名，主要是基于以下几个特点。
（1）给定平面内两个不共线的向量，通过线性运算，可以构造出该平面内的所有向量；
（2）通过线性运算构造平面内所有向量，至少需要两个不共线的向量；
（3）平面内任意向量的问题都可以转化为基底中两个向量之间的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；
【设计意图】
（1）说明当给定的两个不全为零的向量共线的时候，只能表示与他们共线的向量，从而形成定理中的“不共线”；
（2）说明当给定的两个向量不共线时，只能表示与他们共面的向量，从而形成定理中的“这一平面内”；
（3）区别“无数个”与“任意一个”，从而猜想定理中的“任意”．
预案：学生认为两个给定的向量可以表示无数个向量而非任意一个，此时可以引导学生思考哪些向量无法表示；
学生容易忽略“平面内”的限定，认为两个给定的向量可以表示任意一个向量，这与此前学生数学学习中对三维空间研究较少有关，其难以突破二维空间的思维局限，此时，教师可以给出反例，让学生体会。
学生容易忽略共线的特殊情况，认为同一平面内两个给定向量可以表示该平面内任意一个向量，此时可以追问学生“无论这两个向量如何给定，都可以表示平面内任意一个向量吗？”；
由问题1的讨论，有些学生容易想到当一个向量是零向量时，无法表示平面内任意向量，有些学生会想到当两给定向量共线时，无法表示平面内任意向量，教师需要引导学生认识到“不共线”的限定就排除了含零向量的可能．
活动1：让学生表述猜想：通过同一平面内两个不共线向量的线性运算可以表示这一平面内任意一个向量．
【设计意图】
【设计意图】
（1）从定性研究到定量研究，使学生体会科学研究的一般思路；
（2）对唯一性的论证，一方面从形的角度用作图方法说明，贴近学生思维，培养论证表达能力，另一方面从数的角度用同一法及反证法证明，培养逻辑思维能力，同时使学生进一步体会向量是集数形于一身的数学概念；
理解当基底选定后，平面内的任意向量与有序实数对(λ1，λ2)一一对应，为后面向量的坐标表示做铺垫．
预案：
（1）大部分学生会利用作图过程进行分析，但容易想当然，缺乏从定义、公理、定理出发进行严谨逻辑推理的意识，这就需要教师抓住契机进行培养；
（2）高一年级的学生还没有学习反证法，同一法在课标当中也没有涉及，所以从数的角度严格证明对学生来讲是个难点，如果没有课外的补充学习，学生很难想到这种证明方法，因此这里的处理方式是教师引导，且对证明不做规范性要求．
完善平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1 λ2e2．
设计意图：将教材定理中的“有且只有”写作“存在唯一”，减少理解障碍．
教师解释定理的价值，深化学生对定理的认识：
阿基米德曾经说过，给我一个支点，我可以撬起地球．
通过平面向量基本定理，我们可以说，给我两个不共线的向量，我可以通过简单的线性运算，构造出该平面内的所有向量；给我两个不共线的向量，我可以把该平面内任意向量的问题都化归为这两个向量的问题，从而化任意为确定，化未知为已知；给我两个不共线的向量，我可以把该平面内的向量与有序实数对建立一一对应，搭起数与形之间的桥梁，为用数的运算来刻画形的问题创造了可能．我只需要两个不共线的向量！
【设计意图】
（1）借用阿基米德名言的句式，引起学生兴趣和注意；
（2）通过排比，强调平面向量基本定理的重要价值；
（3）说明这两个不共线向量的重要地位，引出基底定义．
给出基底的定义：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base)．
【设计意图】给出基底的英文单词，base有基础的意思，更容易让学生理解基底是构建平面内所有向量的基础．笔者认为这也体现了平面向量基本定理中“基本”的含义．
追问：表示平面内所有向量的基底有多少组？需要满足什么条件？
问题4：这个定理与平行向量基本定理有什么联系？
设计意图：
（1）使学生理解二者的联系，即平面向量基本定理是平行向量基本定理由一维到二维的推广，平行向量基本定理是平面向量基本定理在一维时的特殊情形，这里体现了特殊与一般的辨证观点，在这种视角下，平行向量基本定理中的“非零向量”也可以称为一维空间上的一个基底，由它生成了与之共线的所有向量；
（2）使学生体会联系地看待事物，而非割裂地看待知识，将新知识纳入到自己的知识网络中，提高对知识体系的整体认识．
提出课后思考问题：三维空间的基底应该如何选取？
小结反思，布置作业
1．小结
本节课我们从一个具体问题的探究提出了研究的方向，从猜想到验证得到了定理的雏形，从存在到唯一完善了定理的内容．
平面向量基本定理是将平面向量任意化归为确定的理论依据，是由几何到代数的桥梁．
希望同学们通过这节课能够体会一个数学概念从起因到发生，再到雏形，然后逐步发展及完善过程中蕴含的合理的思维方式．
设计意图：
课标中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课花了较大的精力去发现、验证和理解，一方面是希望学生能够认识到这个定理的价值，另一方面是希望学生通过这节课的探究，经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的合理的思维方式．所以在小结中笔者希望学生能够理解教师的意图．
作业：
必做作业：校本作业(十九)。
课后思考：
（1）试利用三角形法则对定理进行验证；
（2）要想表示三维空间内的任意向量，笔者们最少需要几个怎样的向量作为基底呢？
【设计意图】必做作业是对课内知识的巩固，课后思考是让学有余力的生能够有充分的发展空间
