数学界最牛的常数：不可不知的数学中最重要常数之一
数学界最牛的常数：不可不知的数学中最重要常数之一也就是对于这个式子的极限值将是多少呢?甚至可以计算天利率 或者小时 秒来计算. 当然年末所获得的钱亦会增多. 不过雅各布.伯努利发现随着 n 趋于无穷 对于这样的连续复利存在着一个极限:雅各布·伯努利在研究复利的时候发现了一个有趣的现象: 假设在银行存了 1 $ 而银行提供的年利率是 100% 也就是说 1 年后连本带息 你会得到 2 块钱 这个非常容易理解. 那么再假设半年就计算一次利息 半年利率为 50% 这种方案最终的收益会不会比前一种更好呢? 计算如下: 这样看来一年后共会获得 2.25 块钱. 恩 看起来不错啊. 那现在计算利率周期如果再短一些会怎么呢? 再来假设每个月结算一次呢? 月利率为 1/12 最终得到大约 2.61304 块钱 这个方案会又好一些.现在可以看出这样的规律 利息的周期越短 收益就更好. 那就让我们继续缩短计息的周期 变为
请看由 [遇见数学] 翻译小组译制的《欧拉恒等式》视频跳转链接 里面讲到了如何证明欧拉等式 推荐观看. 下是 [遇见数学] 在悟空问答回答网上朋友的一篇文章(什么是 e) 这里整理出来也分享给大家.
e (自然常数 也称为欧拉数Euler's Number 以瑞士数学家欧拉命名)是自然对数函数的底数. 它数学中最重要的常数之一也是一个无理数 就是说小数点后面无穷无尽 永不重复......
e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274......
与我们更熟知的两个无理数 Pi 和 √2 不同 它不是由数学家由几何问题上发现而来的 而出自一个金融问题 是用来表示增长率和变化率的常数. 但是它为什么会和增长率有关呢? 让我们回到来 17 世纪 看看发现 e 的第一人：数学家雅各布·伯努利以及他所研究的这个问题.
雅各布·伯努利在研究复利的时候发现了一个有趣的现象: 假设在银行存了 1 $ 而银行提供的年利率是 100% 也就是说 1 年后连本带息 你会得到 2 块钱 这个非常容易理解. 那么再假设半年就计算一次利息 半年利率为 50% 这种方案最终的收益会不会比前一种更好呢? 计算如下:
这样看来一年后共会获得 2.25 块钱. 恩 看起来不错啊. 那现在计算利率周期如果再短一些会怎么呢? 再来假设每个月结算一次呢? 月利率为 1/12 最终得到大约 2.61304 块钱 这个方案会又好一些.
现在可以看出这样的规律 利息的周期越短 收益就更好. 那就让我们继续缩短计息的周期 变为每周计算 计息的次数就是 52 次 .
甚至可以计算天利率 或者小时 秒来计算. 当然年末所获得的钱亦会增多. 不过雅各布.伯努利发现随着 n 趋于无穷 对于这样的连续复利存在着一个极限:
也就是对于这个式子的极限值将是多少呢?
伯努利知道会是一个 2~ 3 直接的数 但最终的的结果很可惜他并没有计算出来. 这个问题由 50 年后的莱昂哈德·欧拉借助下面的公式计算出来小数点后 18 位 2.718281828459045235...... 这就是描述增长率的自然常量 e 由来.
既然提到了 e 通常会提到将所有著名的常数出现在同一个方程 - 欧拉恒等式(Euler's identity) 被誉为最美的数学公式. 请看下面文章链接 图解普林斯顿微积分第 08 章: 《指数函数和对数函数》.
并且欧拉借助连分式的形式证明了 e 是一个无理数 观察这个连分数的形式(最左侧) 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 10.... 也就是说这种能够一直被处下去的连分数 那就意味着它是个无理数.
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟 所以 e 是描述增长率的自然常量 并且还是唯一具有下面性质的函数: 这个函数曲线上的每一个点的 y 值 在该点的斜率和面积都是相同的. x =1 时 函数值就等于 e. 斜率也是 e 而曲线下的面积也是 e.
也正是因为这主要性质 使得它成为了微积分的你最喜欢见到函数(微积分也正是描述变化率 极限求和的数学). 所以当在微积分课程中 凡是遇到 e 的计算 计算会简单一些.
(完)
个人水平有限 请各位老师和朋友多多指正帮助! 也请多转发、支持! 最后以来纪念一下欧拉大神吧.
