任意三角形面积相等的条件：三角形面积相等的条件如何利用
任意三角形面积相等的条件：三角形面积相等的条件如何利用问题在关键在于，怎么找到D'点呢？回到我们寻找等面积三角形的过程上来，从三角形名称上，△ABC和△ABD的公共边是AB，于是这条边便可作公共底，在直线CD上，任意一点到AB的距离都相等，因为平行线间距离相等，即无论直线CD上哪一点作为三角形顶点，面积总是和△ABC相等。刚才在计算的过程中，其实已经找到了一个点D，但是千万不要忘记，直线AB另一侧，即点B上方还有一个点也满足要求，如下图：很简单对吧？相信不少学生会求出点B坐标，然后用割补法来求，这当然没错，同时，要明白除了割补法之外，还有其它方法，例如过点C作AB的平行线CD，它与y轴交点为D点，而此时的△ABD与△ABC面积相等，直线CD斜率与直线AB相同，而点C坐标已知，因此解析式好求，为y=-3/4x 9/4，于是点D坐标为(0 9/4)，面积更容易得到，为7.5；第二个例子将上题增加一个小问，在y轴上找一点D，使△ABD与△ABC面积
从面积相等的三角形说起
关于几何图形面积的计算，是从小学便开始学习了，今天我们聊的话题是三角形的面积，当然，计算公式都知道，底与高乘积的一半。而在中考压轴题中，再次遇到它，便不仅仅直接用它计算这么简单，通常情况下，我们会面临两个三角形面积相等的情况。从面积计算公式角度来看，无非是这两个三角形底与高的乘积相等，而又细分为等高或等底两种情况；从几何图形关系来看，无非是全等或割补。
第一个例子
如图，平面直角坐标系中，直线y=-3/4x 6与y轴交于点B，点A(4 3)在直线上，点C(4 0)在x轴上，求△ABC的面积。
很简单对吧？相信不少学生会求出点B坐标，然后用割补法来求，这当然没错，同时，要明白除了割补法之外，还有其它方法，例如过点C作AB的平行线CD，它与y轴交点为D点，而此时的△ABD与△ABC面积相等，直线CD斜率与直线AB相同，而点C坐标已知，因此解析式好求，为y=-3/4x 9/4，于是点D坐标为(0 9/4)，面积更容易得到，为7.5；
第二个例子
将上题增加一个小问，在y轴上找一点D，使△ABD与△ABC面积相等。
刚才在计算的过程中，其实已经找到了一个点D，但是千万不要忘记，直线AB另一侧，即点B上方还有一个点也满足要求，如下图：
问题在关键在于，怎么找到D'点呢？回到我们寻找等面积三角形的过程上来，从三角形名称上，△ABC和△ABD的公共边是AB，于是这条边便可作公共底，在直线CD上，任意一点到AB的距离都相等，因为平行线间距离相等，即无论直线CD上哪一点作为三角形顶点，面积总是和△ABC相等。
这个原理同样适用于另外一根平行线，关键在于距离！平行线间的距离。
在上图中，我们将这个距离作出来，如下图：
图中，△BGD和△BHD'全等是极容易证明的结论，因此，当BG=BH时，BD=BD'，因此我们寻找另外一根直线时，并不需要将距离画出来，而是直接在y轴上截取BD'=BD，因为我们知道，虽然截取的线段并不是距离，但它们相等却能保证距离相等。
第三个例子
如图，在平面直角坐标系中，以直线y=5/2为对称轴的抛物线y=ax² bx c与直线l:y=kx m(k>0)交于A(1 1)，与y轴交于C(0 5)，直线与y轴交于点D。
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若AF:FB=3:4，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
(3)若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值。
解析：
(1)从阅读题目条件中，我们可首先确定解析式中的字母c=5，然后由对称轴可得-b/2a=5/2，于是b=-5a，最后把点A坐标代入y=ax²-5ax 5，求得a=1，于是y=x²-5x 5；
(2)抛物线一旦确定，那么随之点B坐标可确定，毕竟它与点A的关联紧密，AF:FB=3:4，极易联想到相似三角形，而构造相似三角形的最佳方式则是向x轴作垂线，AM，BN，如下图：
注意观察图中三条平行线AM∥FH∥BN，由平行线分线段成比例，可知MH:HN=AF:FB=3:4，而其中线段MH=3/2，于是HN=2，顺利求得点B(9/2 11/4)，于是直线AB解析式为y=1/2x 1/2，则D(0 1/2)，现在可以用前面归纳的方法来寻找点G了，BC为公共底，于是我们在y轴上找到点D关于点C的对称点D'，然后分别过D和D'作BC的平行线，如下图：
显然我们找到了对称轴右侧的两个点，直线BC解析式为y=-1/2x 5，而直线DG与直线D'G'的解析式分别为y=-1/2x 1/2和y=-1/2x 19/2，它们与抛物线的交点即为所求，分别为G(3 -1)和G'((9 3√17)/4 (67-3√17)/4)。
(3)在x轴上找一点P使∠APB=90°，不妨将△ABP找出来观察，按条件描述，它是一个直角三角形，直角顶点在x轴上，非常自然地想到构造“一线三直角”模型，并且在前一问中，已经过点A，B面x轴作了垂线了，只要不擦，连暗示都省了，如下图：
图中△AMP∽△PNB，只需要将对应边用含字母的代数式表示即可，先消参，将点A坐标代入直线y=kx m中，得到m=1-k，于是y=kx 1-k，与抛物线解析式联立得kx 1-k=x²-5x 5，整理并解出两根，其中之一为点B横坐标，于是B(k 4 k² 3k 1)，此时便有办法列比例式得到关于k的方程了，但为了进一步减轻计算量，不妨多思考一下，以AB为直径的圆，点P在圆周上，题目条件中说有且仅有一点，则意味着该圆与x轴相切，如下图：
显然可证P为MN中点，得点P(1/2k 5/2 0)，再来列比例式，则容易多了，整理后得3k² 6k-5=0，同时注意k>0，解得k=-1 2√6/3。
解题反思：
三角形面积相等的运用，由浅入深，本质其实一样，利用平行线来寻找无疑较便捷，但这种思想是需要平时进行渗透的，一味只懂得割补法，或者停留在割补法的成功，不愿意再研究新的方法，遇到这道题，思路通顺的可能性就低，或者被解析法中复杂的高次方程吓退。
平时的课堂教学中，老师需要根据学生实情，选择不同的解题方法进行重点讲解，不同层次的学生会有不同收获。解题中同样存在形式主义，即只要能解出来，方法无所谓。其实方法用哪一种确实无所谓，但尝试的解法种类多，相当于为学生打开了新视野，一个视野开阔的学生，思维同样开阔，当遇到困难的时候，不会一条路走到黑，而是会及时调整思路，从而更容易找到正确的那条。
一个班级40多名学生，对某种解题方法的理解各不相同，而一节课时间又有限，这些解法并不能保证在课堂上全部讲透，那么，摸清学生思维习惯，从而在课堂上讲多数学生习惯理解的方法，然后课余再进行拓展，鼓励学生一题多解，这件事要坚持做，虽然对批改作业和个别辅导要求更高，但学生收获最大。
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