十进制与阿拉伯数字：数字的进制表示--人类为何选择十进制

十进制与阿拉伯数字：数字的进制表示--人类为何选择十进制去山上捡过材火的小伙伴一定知道，当我们捡到足够多的材火之后，就会用绳子绑成一捆，这样方便搬运。使用这样的方法，我们就可以表示更大的数字。例如，我们用1，2，3分别表示1根，2根，3根材火；当我们捡了9根材火，再往后就没有其他数字符号表示了，那么再捡一根材火，我们就绑成一捆，用10表示，这样我们还可以表示2捆（20），5捆（50）。这大概就是数字进制思想的起源。那么，如何用很少的符号，来表示很大的数字呢？以后如果碰到需要表示更多的东西，那么只要再发明新的符号，然后被接收并流传开来即可。8，9的符号表示但是，随着要记录的数量越来越大，就需要越来越多的符号来表示数字，必将使符号变得复杂，并且辨识度就会下降。所以，不停发明符号来表示更大的数字不是一个好的方法，因为人类不方便记那么多符号，而且即使一些聪明的人能够记住，但是数字符号最重要的是被广泛流传和接受，太多的符号，也不利于被广泛接受。

值此举国欢庆建国70周年之际，写下这篇文章，以表祝愿。祝愿祖国繁荣昌盛，早日登顶，制霸全球。

人类有了抽离出数字的想法之后，就需要使用符号来表示数字。起初，由于生产力有限，所要表示的数字不会太大。比如表示到7已经足够了，因为还没有超过7个我们关心的东西。假如使用下面的符号表示1-7。

1-7符号表示

以上符号是作者随便画的，只要足够简洁，有较高的区别度，并且能够流传开来，就可以作为数字使用。

以后如果碰到需要表示更多的东西，那么只要再发明新的符号，然后被接收并流传开来即可。

8，9的符号表示

但是，随着要记录的数量越来越大，就需要越来越多的符号来表示数字，必将使符号变得复杂，并且辨识度就会下降。所以，不停发明符号来表示更大的数字不是一个好的方法，因为人类不方便记那么多符号，而且即使一些聪明的人能够记住，但是数字符号最重要的是被广泛流传和接受，太多的符号，也不利于被广泛接受。

那么，如何用很少的符号，来表示很大的数字呢？

去山上捡过材火的小伙伴一定知道，当我们捡到足够多的材火之后，就会用绳子绑成一捆，这样方便搬运。使用这样的方法，我们就可以表示更大的数字。例如，我们用1，2，3分别表示1根，2根，3根材火；当我们捡了9根材火，再往后就没有其他数字符号表示了，那么再捡一根材火，我们就绑成一捆，用10表示，这样我们还可以表示2捆（20），5捆（50）。这大概就是数字进制思想的起源。

数字的进制表示，使得人类用有限（有限的符号）表示无限（足够大的数字），是人类文明史上一次伟大的思想进化。

有了数字的进制思想，那么就是决定采用多少作为一捆的问题了（多少进制）。这个大多根据人类掌握的规律以及习惯而定。目前人类普遍使用十进制，但是也有其他的进制，比如一个星期采用7进制，一天采用24小时制，小时和分秒采用60进制。

计算机采用二进制，因为计算机非常容易知道开关的开关状态，电压的高低状态，磁性介质的NS极状态。可以说，二进制是一种天然的进制，任何实物都有其两面性，白天与黑夜，前进或后退，向左和向右，生或死，。。。就像中国古人发明的太极图一样，你中有我，我中有你，相互对立，相互依存，缺一不可。

既然二进制是天然的进制，为什么人类不使用二进制，而是十进制呢？

首先是习惯的原因，人类选择10进制，很大部分原因是因为我们人类有10根手指头，10以内的数字，我们勾勾手指就能表示出来。如果有一种外星文明，他们那里的生物有八根手指，那么他们应该很大概率使用8进制。

其次使用二进制的话，很小的数就需要一串0，1表示，比如9，二进制为1001，有4位数字，不便于记录和书写方便。

那么使用更大的进制呢？更大的进制，表示我们需要发明更多的符号，比如十六进制（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F），无疑增加了记忆的难度（不是越多越好）；而且，当我们进行基本运算的时候（加减乘除），我们从小背诵的99乘法表，就变成了15*15乘法表，59*59乘法表，想想也有点恐怖。

下面使用简单的模型来分析一下数字的进制。假如我们使用N进制，来表示第M个数字（0是第一个数字），那么需要logN(M)位表示，也就是说我们需要顺序地记住logN(M)个数字符号，再加上N个字符，我们定义记忆这个数的复杂度为F(N)=logN(M) N=ln(M)/ln(N) N，然后F(N)对N求导数d(F(N))/d(N)=1-ln(M)/ln(N)^2，令导数等于0，解得M=e^(N*ln(N)^2)，表示使用N进制，在表示第M个数字的复杂度比较小。

上图表示的意思是，N进制只有在表示超过M的数时，才会相对于（N-1）进制表现出优势（F(N)定义的复杂度较小），例如10进制表示9.0*10^23级别的数字时，复杂度是34，9进制复杂度是35，而二进制复杂度是82。

在现实生活中，我们经常接触的数字并不会太大，所以太大进制并没有优势。在表示10进制的232038061（亿级别）时，10进制复杂度为19，6进制表示为35005214141，复杂度是17，而2进制表示为1101110101001001111010101101，复杂度是30。可见10进制与最优的6进制复杂度相差2，还是可以接收的。使用二进制有点恐怖了，你会发现你很难记住这个数。

你可能会觉得记忆10进制232038061比记忆6进制35005214141好记，位数明显更少。原因是你忽略了你已经熟练掌握了0-9的数字字符。假如是下面这样呢？

分别依此表示0-9的数字符号

你首先要记住每个符号是第几个符号（在脑中记住，不能用比标识，6进制只需记前6个字符）。然后翻译下面的数

上面一个是10进制，下面是6进制。

总而言之，10进制在我们经常接触的数字范围内，并不比最优进制差多少，而且经过熟练掌握10个字符，已经转换成固定脑力学习成本投入，在新表示一个数时，新增的脑力成本反而比低进制要少（因为位数少了）。也就是说，如果你熟练掌握100进制，并且熟练掌握99*99乘法表，那么别人10进制的乘法 265076*345443的6位数乘法，在你看来就是 26 50 76 * 34 54 43的3位数乘法。就像别人10进制 365*348那样简单，so easy！

最后，我觉得完美的进制应该是2的N次方进制的形式，比如8进制或者16进制。因为二进制是天然的进制，而2的N次方进制可以分段的转换成二进制（各数位互不影响），比如16进制A转换出二进制为1010，C转换成二进制为1100，那么AC转换成二进制就是 1010 1100，只要A和C分别转换，再连接就可以了。

正因为人类选择了10进制，所以在今天祖国70周年生日，才会如此隆重和受人关注。因为进位了，代表了一种进步，一种蜕变。祝愿祖国不断进步，不断强盛，期待100年的大庆！