离散与连续傅里叶变换上下限不同，连续与离散时间域各种傅里叶变换的联系与区别

离散与连续傅里叶变换上下限不同，连续与离散时间域各种傅里叶变换的联系与区别再由傅里叶变换引出拉普拉斯变换：在傅里叶变换的概念里面，时间和频率都是连续的。图1图2我们注意到，图1和图2中分别存在dt和dw的微分因子，说明

对于傅里叶级数，先看看它的来历：

也就是将一个复杂函数分解为简单函数：余弦波。其指数形式如下：

傅里叶级数是在周期函数的基础上推导出来的。

然后假设这个周期为无穷大，就得出了傅里叶变换FT：

图1

图2

我们注意到，图1和图2中分别存在dt和dw的微分因子，说明

在傅里叶变换的概念里面，时间和频率都是连续的。

再由傅里叶变换引出拉普拉斯变换：

图3

上述傅里叶变换和拉普拉斯变换都是在连续时间域进行分析得到的，如果进入离散时间域：

上图中的k，代表的是第几个离散函数点的意思。令T=1，得到

这里的序列傅里叶变换也就是

图4

而上图公式也就是离散时间傅里叶变换DTFT：

上图中的DTFT表达式也可以由图1中的傅里叶变换表达式直接得出，只要令

图5

这个表达式中的 t 变成 n 就可以了。t 代表的是连续的时间段，而 n 代表的是离散的时间点，因此，DTFT相对于FT来说，只要简单地把时间离散化就可以了。

我们还注意到，图4与图5相比，仅仅是时间被离散化了，频率w并没有，因此，DTFT的频率w还是连续的，也就是说，DTFT的频谱是连续的。

同时，我们还可以得出DTFT和z变换的关系：

z变换的单位圆就是：

既然DTFT与FT相比，只是时间被离散化了，那么，是否可以进一步对频率w也进行离散化呢？答案是可以的，这就是DFS：

图6

这里对频率w进行离散的方法就是以

为间隔，而

就相当于频率w，另外

表示的是复平面单位圆上等间隔的采样点。

上面DFS的推导是以周期序列为基础的，那么，对于非周期序列来说，可不可以进行傅里叶变换呢？当然可以，这就是DFT：

可以看出，DFT与图6的DFS相比，并没有什么不同，这是因为DFT中的序列虽然是非周期有限长序列，但只要对这个序列进行周期拓展，就可以认为拓展以后的序列就是DFS中的周期序列。

频率离散化的意义可以图示如下：

进一步的区别：

从上图可以看出，DTFT的频谱是连续的，DFS（DFT）的频谱是离散的，也是从DTFT的频谱等间隔取样得到的。

几种变换相互转换的方法：

上图表明，由于DTFT是相对于无穷序列的，所以必须截断才能实际应用；DTFT和DFT中的时域非周期信号都可以周期延拓为DFS中的周期序列，等等。

进一步与z变换的联系如下图：

三者理论上的

一个信号实际的DTFT与DFT：

简单总结：

1：连续周期函数的分解导出了傅里叶级数，非周期函数的分解导出了傅里叶变换。

2：为了解决傅里叶变换中的函数收敛问题，得出了拉普拉斯变换。

3：为了对离散时间序列进行分解，得出了Z变换。

4：对傅里叶变换中的时间 t 进行离散化以后，得到了离散时间傅里叶变换DTFT。

5：在DTFT的基础上，进一步进行频率的离散化，就得出了DFS和DFT。

6：单位圆上的Z变换就是DTFT。

7：对连续的DTFT频谱进行等间隔采样，就得到DFT频谱。