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怎么求二次曲线的切线方程?一般平面二次曲线方程秒变大众脸

怎么求二次曲线的切线方程?一般平面二次曲线方程秒变大众脸cot 2α = (a_11−a_22)/(2 a_12)从而消去xy项。其中,α满足若a_12≠0,则先要做旋转变换:x = u cos α – v sin αy = u sin α v cos α

平面二次曲线的一般形式为:

a_11 x^2 2 a_12 xy a_22 y^2 2 a_13 x 2 a_23 y a_33=0

方程式中既有平方项,又有交叉项,还有一次项和常数项,变成标准二次曲线,可方便地识别曲线类型,还能知道各参数和曲线性质。

怎么求二次曲线的切线方程?一般平面二次曲线方程秒变大众脸(1)

只需2步,即旋转和平移:

第一步

a_12≠0,则先要做旋转变换:

x = u cos α v sin α

y = u sin α v cos α

从而消去xy项。其中,α满足

cot 2α = (a_11a_22)/(2 a_12)

经过旋转,原曲线变为:

b_11 u^2 b_22 v^2 2 b_13 u 2 b_23 v b_33=0

第二步

上式配方,可变为:

c_11(uu_0)^2 c_22(vv_0)^2 c_33=0

s=u-u_0

t=v-v_0

则曲线方程变为标准方程:

c_11 s^2 c_22 t^2 c_33=0

注 平移变换和旋转变换是保角、保距变换,也就是说,施行平移和旋转变换可将二次方程化为标准型,但是方程所表示的图形保持不变。正因为如此,我们才能借助这两种变换化简二次曲线的方程。

例题 将下列曲线化为标准形:

5x^2 4xy 2y^2−24x−12y 18=0

解 cot 2α = (5−2)/4=3/4,解得

tan α=1/2(或tan α=−2)

cos α=2/√5,sin α=1/√5,

作变换:

x = (2u v)/√5

y = (u 2v)/√5

可得

6u^2 v^2−12√5 u 18=0

再配方,得

6(u−√5)2 v2=12

再令

u−√5=s,v=t

则化为椭圆标准方程

s^2/2 t^2/12=1

易知这是一个长半轴为2√3,短半轴为√2的椭圆。

怎么求二次曲线的切线方程?一般平面二次曲线方程秒变大众脸(2)

怎么求二次曲线的切线方程?一般平面二次曲线方程秒变大众脸(3)

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