拓扑学上的开集定义：拓扑学集合收集中

拓扑学上的开集定义：拓扑学集合收集中1.2 Leonhard Euler 柏林 1752 年对于所给的图 四个顶点都是奇的 因此那样的路线是不可能有的. 这个定理对学数学的年青人是一个极好的练习 因为证明相当于初等 但不显然.18 世纪的哥尼斯堡七桥问题的图定理 1. 有一条道路走过图中每条边恰好一次 当且仅当该图最多有两个 “奇” 点 所谓奇指所连边数是奇数.

§1. 拓扑学序幕

现在为人所知的拓扑学在 19 世纪形成 在 20 世纪取得了梦幻般的进展 进入 21 世纪更加兴旺发达. 但是 在此之前已经有了拓扑学的想法 和一些零星的结果 喻示着应当有这样一种研究领域.

1.1 Leonhard Euler 圣彼得堡 1736 年

在数学文献中的第一个拓扑学陈述 或许就是来自于 Euler 对哥尼斯堡 (Königsberg) 七桥问题的解答. 该问题是: 散步走过七座桥的每一座恰好一次. Euler 说明这样的散步路线不存在. 问题可以用如下所示的一个图来表述 每块陆地表示成一个圆点 每座桥表示成一条边.

18 世纪的哥尼斯堡

七桥问题的图

定理 1. 有一条道路走过图中每条边恰好一次 当且仅当该图最多有两个 “奇” 点 所谓奇指所连边数是奇数.

对于所给的图 四个顶点都是奇的 因此那样的路线是不可能有的. 这个定理对学数学的年青人是一个极好的练习 因为证明相当于初等 但不显然.

1.2 Leonhard Euler 柏林 1752 年

若干年后 Euler 发现了一个等式 它在拓扑学中起基础性作用.

定理 2. 任何一个凸多面体 其顶点数V 、边数 E 和面数 F 满足下面的关系式.

V − E F = 2.

例如: 正十二面体有 20 个顶点、30 条边和 12 个面 满足 20 − 30 12 = 2.

Euler 远远走在他所处时代的前面. 一百多年以后 有限胞腔复形K 的 Euler 示性数被定义成这样一个整数

χ(K) = 偶数维胞腔数 − 奇数维胞腔数.

到了 20 世纪早期 才能证明 Euler 示性数是一个拓扑不变量. 如下的两个基本性质可以很容易通过定义验证:

这里我们假定各 Kj 是它们并集的子复形. 做为一个简单的练习 利用定义和乘积性质 我们可以证明 n 维方体 [0 1]n 的 Euler 示性数是 1 而该方体的边界 (即: n–1 维拓扑球面) 的 Euler 示性数是 1 (−1) n−1 .

1.3 Augustin Cauchy 巴黎理工学校 (´Ecole Polytechnique) 1825 年

Cauchy 是给出连续这个概念精确定义的第一人 而连续是拓扑学最基本的概念之一.

更进一步 他给出了一个拓扑不变量: 闭路 C 绕一点 p 的卷绕数(winding number) 可通过一个全纯微分形式沿 C 的积分来计算.

在复平面中绕一点 p 的曲线 C

1.4 Carl Friedrich Gauss 哥廷根 1833 年

Gauss 给出了更精巧的拓扑不变量:

互不相交的两个有向闭曲线间的环绕数 (linking number) L. 受在电磁学研究的影响 他用二重积分计算这个数

其中 x 在一条曲线上变动 而 y 在另一条曲线上变动.

※ 进一步的注记：

A1.1. Euler. 尽管出生和受教育都在巴塞尔 他没有在那得到一个职位. 因此 当位于圣彼得堡的俄国皇家科学院所发出邀请时 他愉快地接受了.

以哥尼斯堡命名的城市已存在了 690 年 它建立于 1255 年 讲波罗的海语的原住居民消失被德国定居者取代 当 1945 年被苏联军队接管后 不再做为德国的城市 而起名为加里宁格勒. 在 19 和 20 世纪 哥尼斯堡产生了许多数学家 包括 Rudolph Lipschitz Alfred Clebsch David Hilbert Hermann Minkowski 和 Jürgen Moser.

A1.2. Euler. 在 1741 年 俄国的形势变得不稳定 Euler 接受了柏林学院的一个职位 这是由普鲁士国王腓特烈大帝资助的.

如 §2.1 所述 考虑三维空间中非凸多面体 “Euler 示性数” 概念的第一个人 或许就是L’Huilier. Johann Listing 在 1862 年研究了更一般的多面体，而Poincaré 在 1895 年首先提议流形的 Euler 示性数可以从同调中算出 就是 Betti 数的交错和. (以此方式定义的 Eulre 示性数经常被称为 Euler-Poincaré 特征.) 实际上 Poincaré 在同调上的研究 在20 世纪早期被许多数学家发展 很自然地考虑下面的构造

胞腔复形K → 链复形C∗(K) → 同调群H∗(K).

利用域系数 我们不难证明整数

等于 Betti 数的交错和

.可是 同调群的拓扑变性的证明要困难得多. 基本的工具 单纯逼近定理已经由 L.E.J. Brouwer 给出.可是 Brouwer 并没有用于同调理论. Alexander [1915] 关于Betti 数拓扑不变性的第一个证明让我相当迷惑. (经过答辩 Alexander 成为那时的新博士.)经过拓扑家的研究 再受 Emmy Noether 的影响 事情变得清晰起来. 我们应该考虑同调群 而Betti 数由这些群的秩来定义 (见 Hirzebruch [1999]). 我发现可读的早期材料是Seifert 和 Threlfall [1934] 还有 Alexandroff 和 Hopf [1935].

A1.4. Gauss. 依照 (很后才引入的) 度的概念 Gauss计算了从环面到球面映射

的度.

§2. 二维流形

直至 19 世纪 人们才明白应该有一种几何研究 不仅在局部也要在大范围.

2.1 Simon L’Huilier 日内瓦皇家学院 1812—1813 年

L’Huilier (也拼写成 Lhuilier) 或许是考虑更一般 (非凸) 多面体 Euler 示性数的第一人. 对于 3 维欧氏空间中被钻透 n 次的多面体的表面 他算出 Euler 示性数是 χ=2−2n.借用现代的语言 这种多面体的边界是亏格为 n 的曲面.

2.2 Niels Henrik Abel 挪威 19世纪 20 年代

在耶尔斯塔的 Abel 纪念碑

由于 Abel 的工作 曲面的整体理论的必要性变得清晰了. 他研究代数函数的积分. 例如 如下形式

其中 aj 是互不相同的实或复数. 当今 我们会将它写成沿着光滑仿射代数簇

中的一条道路积分

该代数簇由下式定义

此积分当 y = 0 时似乎没意义 但是因为2ydy = f'(x)dx 我们可将被积函数写成2dy/f'(x) 它当 y=0 时完全有合理的含义. 当今人们写成表示式

并做为簇 V 上的全纯 1 形式 或 Abel 微分.

给定任意一个这样的 Abel 微分 α 和 V 中一条闭路 L 我们可以做积分而得到一个从基本群π1(V ) 到复数集的同态

可是 这些术语的大部分在当时还没有. Abel 去世很早 如何用更好的语言来描述此构造 这一工作留给了其他后来人.

2.3 Bernhard Riemann 哥廷根 1857 年

接受挑战的第一人是 Riemann 在 1851年博士论文和 1857 年关于 Abel 函数的文章中 他提出了现在我们称之为 Riemann 曲面的概念.

下面是 Riemann 演示的复平面上的三个有界区域. 他称一个区域为单连通 如果任一个切割 (从一个边界点到另一个的道路) 必定将区域分成两部分. 类似地 称一个区域为双连通 如果将它分开需要两个切割. 依此类推.

更一般地 他研究了超出平面的 “Riemann 曲面”:

另一个三连通的曲面

Riemann 也考虑了 F 是闭曲面的情形 他描述了沿一些简单闭曲线切开 F 的步骤 使切开的曲面是一个连通且单连通的曲面.

这些曲面的此类曲线个数总是偶数 2p 用现代的语言 这表示有一个CW 复形 1 ° 结构: 一个顶点 2p 条边 和一个 2 胞腔. 从而有 Euler 示性数 χ=2−2p. Riemann 的整数 p>0 是一个不变量 现在称之为 F 的亏格 而 2p 是现在我们所知的一维 Betti 数.

2.4 August Ferdinand Möbius 莱比锡 1863 年

尽管 Riemann 开创性想法影响了这一领域的后来所有工作 但他只给出很少的细节 人们很难跟进. 几年之后 Möbius 给出对我来说清楚很多的表述 说明三维空间中的闭曲面可以用一个清晰定义的整数不变量来分类.

将闭曲面

的连通性类定义为这样一个最小的整数 n: F 中任何互不相交的 n 条闭路必定能切分开该曲面. (换句话说 我们可以选出 p = n − 1 条闭路没有切分开曲面; 但是任何更多的互不相交的闭路必定会切分开它. 这里 p 是 Riemann 的不变量 即亏格.)

例 1: 对于环面 可知 p = 1 因为我们沿一条闭路切割环面而不切分开 但两条互不相交的闭路必然切分开环面.

定理 3. 有相同连通类的任何两个曲面都是初等相关 (elementarily related).

Möbius 的初等相关的概念十分笨拙 见如下所述. 用现代的术语 他想表达的是C1 微分同胚.

定义 1. 两个几何图形初等相关是指: 一个图形中任意维数的无穷小元素都对应另一图形中的无穷小元素 使得在一个图形中相邻的两个元素的对应元素也相近 ……

但是 Möbius 的证明却是出奇地时髦 下面是一个概述: 将曲面在

中放置在一般位置 沿着仔细选取的一些水平面切开. (他的示意图如下:)

那么所得的每个连通块有一个、两个或三个边界曲线 分别是 2 维胞腔、平环或裤形 (pants).

更一般地 以

记二维球面中有 k 条边界曲线的区域.

这样 Möbius 的构造将曲面 F 分成一些无交并

现举一个例子:

为得到原来的曲面 F 我们要在指定的微分同胚下 将 E 的一条边界曲线等同于另一条.

引理 1. 如果我们通过将

的一条边界曲线等同于

的一条边界曲线化简

所得的结果微分同胚于

.证明不难 利用这一表述 我们通过一次次地等同边界曲线对 归纳地化简集合

在 N − 1 次之后 我们得到形如

的连通集. (这里 p 是 Riemann 的不变量 亏格.) 做为一个例子 在如上图中 我们把标记为 a d 和 b 的圆盘放入对应的洞中 经过在最后一种情形时的收缩 我们得到类型

的区域.

现在再做两条曲线的等同 如同在二维球

上加一个 “环柄” 这就完成了 Möbius 的证明. □

例如: 带有 p = 3 个环柄的球面.

2.5 Walther Dyck 慕尼黑 1888 年

Dyck (后加封为贵族 von Dyck) 或许是第一个给出拓扑学要做什么的清楚定义的人:

拓扑学是要研究在有连续逆的连续函数作用下不变的性质.

他或许也是作为一个整体性定理叙述 Gauss-Bonnet 公式的第一人. 对于任意一个光滑闭的二维流形

如果 Gauss 曲率不变号 那么立即能得出示性数有相同的符号:

如果 K > 0 K = 0 或 K < 0

那么分别地有 χ > 0 χ = 0 或 χ < 0.

这成为研究曲率与拓扑之间关系的启示.

2.6 Henri Poincaré 巴黎 1881 年到 1907 年

Poincaré 无可争议地被认作是当代拓扑学的奠基人. 他勾画出同调论与 Betti 数 叙述了 Poincaré 对偶定理. 更进一步 他引入了同伦的概念 定义了基本群 及与之相关的复迭空间的概念. 尤其重要的是对曲面的研究 他描述了 Riemann 曲面的单值化定理. 理论的许多细节有待补充 但是他提出了整体的轮廓.

2.7 Paul Koebe 柏林 1907 年

Koebe 和 Poincaré 大约在同一时间证明了单值化定理. 他的陈述如下:

定理 4. 任一 Riemann 曲面的万有复迭空间共形同构与下述之一:

(1) Riemann 球面

(2) 复平面

(3) 开单位圆盘

.作为一个很容易的推论 我们得到

推论. 任一 Riemann 曲面都有常曲率的度量:

2.8 Hermann Weyl 哥廷根 1913 年

Weyl的书 《Riemann 曲面的想法》(Die Idee der Riemannschen Fläche) 是一个重要的转折点. 在其出版之前 Riemann 曲面的定义相当模糊. 开始于一个局部定义的解析函数 然后再加上所有可能的解析延拓. 依照着有重叠坐标卡的拓扑曲面的方式 Weyl 给出了清晰的定义. 这对随后关于复流形和光滑流形的工作提供了一个模型.

2.9 Tibor Radó Szeged 1925 年

Radó完成了紧致定向拓扑曲面的分类 证明每个这样的曲面可被赋予一个 Riemann 曲面的结构 如 Weyl 所定义. 特别地 它可被赋予一个光滑流形的结构.

九十年以后 Riemann 曲面的研究 及其与之相关的代数曲线的研究 依然是繁荣的数学领域. 例如 2014 国际数学家大会中四个 Fields 奖得主有两个在这个研究领域工作.

※ 进一步的注记：

A2.1. L'Huilier.

文章 Lhuilier 和 Gergonne [1812-1813] 是 Gergonne 所做的删节版 基于原来 L'Huilier 投出的一个长手稿. 很不幸的是 基本不变量 n (现在我们术语中的亏格) 的表述十分含糊. (我无法得知L'Huilier 的原稿是否更清楚些.) 由于我不确信我的翻译 让我引述一下Gergonne 的原话 (168 页):

无论如何 已明确地知道对每个多边形曲面有一个相应的数 n 以及一个步骤来计算它. 例如 对于 “环形” 多边形曲面 他(也在 168页) 说明 Euler 示性数是零.

由 Calvin 在 1559 年建立的日内瓦学院 在拿破伦时代的几年被称为 “皇家的” 自从 1873 年起 被称为日内瓦大学.

A2.2. Abel. 在 1826 年 挪威政府的津贴让 Abel 能访问欧州几个国家. 他在德国的逗留非常成功 在新刊物《Crelle's Journal》上发表了七篇文章 他在法国的逗留不太成功 或许他最重要的工作 代数积分的加法定理 投到法国科学院 而在 Cauchy 的书桌上遭到了十五年的冷遇. 回到挪威 两年的紧张数学活动损害了他的健康 Abel 在26 岁时死于结核病. 按照Charles Hermite 所说

“Abel 留下的东西 足够数学家们忙上五百年.”

A2.3. Riemann. 尽管我试图解释 Riemann [1857 97 页] 的想法 但我须承认他的表述让我很难在细节上弄懂.

使用亏格术语并与 Riemann 曲面相关联的第一个人是 Clebsch [1865]. (参见 Hirzebruch 和 Kreck [2009].) 可是 对 Clebsch 来说 Riemann 曲面的亏格不是一个整数 而是含有曲面的等价类 这与该词在生物学中 或二次型理论中的用法类似. 这样在 Clebsch 的说法中 Rieman 球面属于 “第一亏格” 环面或椭圆曲线属于 “第二亏格” 等等. 关于更多的历史内容 让我参照一下在 1881 年 Poincaré和 Felix Klein 之间的通信. 如 Gray [2013 230 页]所述 Poincaré 问: 在位相分析 (analysis situs) 意义下 亏格 (Geschlecht) 是什么 是否是与他本人所定义的亏格 (genre) 一样的东西?

而 Klein 回复道: 位相分析意义下的亏格是曲面上能画出的闭曲线的最大数 这些曲线不能切分曲面 与定义曲面的代数方程的亏格是相同的数.

A2.4. Möbius. 从存在于复射影平面中的 Riemann 曲面上离开 转向三维空间中的光滑曲面 这是一个大的转变 也让这个主题更加直观. 然而 我们并不清楚有多少合理性. 今天我们可以用 Morse 理论证明方法 描述Möbius论证. 使用单位分解 构造一个 Morse 函数比构造一个在三维空间中的嵌入更容易. 然而 这样的方法在当时当然是没有的.

请注意 Möbius 的论证本质上利用了定向性. 事实上 Riemann 曲面和三维空间的嵌入闭曲面必然是可定向的. 将 Möbius 的证明调整到不可定向曲面情形 还要有一定的工作量.

§3. 三维流形

第一个非平凡三维流形的描述确切地出现在 14 世纪: 但丁的《神曲》所述故事就发生在一个可视为拓扑三维球面的地方 天堂在上穹之极而地狱在下底之极. 可是 三维流形的数学研究仅开始于 19 世纪末. 为简明起见 所有流形都假定是可定向的.

3.1 Poul Heegaard 哥本哈根 1898 年

Heegaard 证明任意可定向的三维闭流形都能分解成有相同亏格的两个柄体的并集 它们仅在边界处相交. 换句话说 我们可以构造一个适用于所有这样的流形模型 某一柄体 H 的两个复本和将两个边界粘在一起的微分同胚.

Heegaard 的结果很难应用 因为由给定曲面上保定向自同胚同痕类组成的映射类群非常丰富 但是它的确提供了理解一般三维流形的重要技巧. 他的定理也导致了对映射类群的研究 该群本身也是一个重要的对象.

3.2 Poincaré 巴 黎 1904 年:Poincaré 猜想

这是困扰拓扑学家下一百年的基本问题:

问题. 如果一个三维闭流形的基本群平凡 它一定同胚于标准的三维球面

吗?

实际上 Poincaré 在 1900 年的原始猜想是: 有与球面相同的同调的流形同胚于标准球面. 然而在 1904 年 利用 Heegaard 的方法 他发现了一个反例. 他的例子是一个有 120 阶有限基本群的光滑三维流形 可最简单地表示成陪集空间

其中

(最小的非交换单群) 是将二十面体变成自身的三维空间旋转群.

3.3 James W. Alexander 普林斯顿 20 世纪 20 年代

Alexander 和他的妻子 Natalie

Alexander 带角的球

Alexander 对偶定理说明复形

补的同调可通过 K 的同调计算出来 这可视为 Jordan 曲线定理的大幅度推广. 例如 嵌入于n 维球面中的任意一个 n–1 维流形都将球分成两个连通分支. 在

中分片线性嵌入二维球面这一特殊情形 他证明每个分支的闭包实际上都是三维闭球的分片线性复本. 类似地 对于

中分片线性嵌入的环面 两个补分支至少有一个是实心环.另一方面 他的如上所示的带角球的例子 后面对于任意拓扑嵌入是不对的. 他也定义了续结的 Alexander 多项式 一个基础的不变量.

3.4 Hellmuth Kneser 格赖夫斯瓦尔德 (Greifswald) 1929 年

考虑定向连通的三维流形 任取两个都有连通和

这在相差同构意义下唯一. 还有恒等元素

.定义 2. 流形

称为是素的 如果这是将 M 表示成连通和的唯一方式.

定理 5. 每个紧致流形 M 同构于素三维流形的连通和

(许多年之后 我证明这样的素分解在相差顺序和同构意义下的唯一性 这一结果变得完备. 见 Milnor [1962].)

3.5 Herbert Seifert 莱比锡1993年

Seifert 纤维化形成了一类被很好地理解的三维流形 它们由曲面上的圆周纤维构成 并允许有有限条特殊限定的奇异纤维.

3.6 Edwin Moise 密西根大学，1952年

Moise (用大量的研究工作) 证明每个紧致三维流形都可以三角剖分 这种剖分在分片线性同胚下唯一.

3.7 Christos Papakyriakopoulos 普林斯顿 1957 年

三维流形拓扑理论的第一个重要突破来自于 Dehn 引理的证明 该引理由 Max Dehn 在1910 年声明 但没能正确地证明.