简谐波动方程解题，简谐波方程

简谐波动方程解题，简谐波方程y0=Acosω(t-t0)=Acosω(t-x/v).y0=Acosωt，在波上任意点P，它到O点距离为x，则P点处质点的振动比O点振动落后t0=x/v时间，即t0时P点的振动状态与O点在t=0时的状态相同，因为P为任意点，所以任意时刻t下，O点在波上运动的表达式就是的表达式就是司今（jiewaimuyu@126.com）2、简谐波方程简谐振动产生的波称为简谐波，如图-5所示，设波源的振动在x=0处，其振动的表达式为

【引言】：让人困惑的物理描述不应是对物理本质的描述，如量子力学的波粒二象性问题，二种在自然界根本就不可兼容的东西非要柔和到一起，那就肯定会让人匪夷所思；对此困惑的释解，解铃还须系铃人，这就须从波粒二象性得出的历史资料上去查找让人产生困惑的根源。

任何波的产生都来自于波源的振动，波动只是传播波源振动的一种形态，因此，研究波问题就绕不开波源振动，大自然中最简单的波源振动是简谐振动。

回顾波史，从简谐振动到简谐波动，从LC振荡到偶极振子，从电子谐振子到电子轨道跃迁，这每一步变迁无不体现了一维谐振子及其演变的身影，本系列小文正是想从一维谐振子入手，去揭开现代物理学“波粒二象性”迷雾之旅。

简谐波方程

司今（jiewaimuyu@126.com）

2、简谐波方程

简谐振动产生的波称为简谐波，如图-5所示，设波源的振动在x=0处，其振动的表达式为

y0=Acosωt，在波上任意点P，它到O点距离为x，则P点处质点的振动比O点振动落后t0=x/v时间，即t0时P点的振动状态与O点在t=0时的状态相同，因为P为任意点，所以任意时刻t下，O点在波上运动的表达式就是的表达式就是

y0=Acosω(t-t0)=Acosω(t-x/v).

这就是描述O点的谐振波方程，写成波长形式就是y=Acos2π(t/T-x/λ).

图-5

值得注意的是：简谐波上组成点可以看做是谐振动中的振子，振子本身在波传播方向上没有平动，只在波形上下振动（横波）或左右振动（纵波），如图-6所示；

图-6

因此说，这种振动产生的波只能通过媒介物来传播振子上下振动的能量，或者说与波方向垂直振动的能量；因此，对波传递能量大小就可以用波源谐振系统的能量来描述，即

Ek=hγ=mv².

也可以这样认为，任何一级波波动一个周期所具有的波能都与波源振动一个周期的振动能量相等，波周期传递的能量就是波源振子振动一个周期的能量，即波源谐振子只是一个能量转换器，它将外界输入的能量转换成以周期能量脉冲，然后以波的形式传递出去，这对偶极振子、电子谐振子等辐射电磁波都一样适用。

我们知道，谐振动可以用旋转矢量圆描述，那么简谐波运动也可以用旋转矢量圆来描述，这种描述有二种方式：

（1）、矢量圆的平面波描述，就是把谐振波源看做是一个矢量圆，旋转矢量A矢端在xoy平面以v速度旋转的同时，又以v速度沿x轴向运动，这就会产生一个余弦波运动，如图-7表示的就是谐振平面余弦波，这种波传递的能量就是波源谐振子所具有的能量。

图-7

（2）、矢量圆的立体波描述，就是把谐振波源看做是一个矢量圆，旋转矢量A矢端在yox平面旋转的同时，又以v速度沿z轴向运动，这就会产生一个柱螺旋运动形式，如图-8、9表示的就是谐振立体柱螺旋的余弦波形式。

图-8

可见，谐振子振幅矢量产生的平面波可以描绘成余弦波，而余弦波曲线又可以看做是柱螺旋曲线的一个正投影，柱螺旋所代表的运动可以描述成一个谐振振幅矢量圆平面沿垂直波方向做匀速运动的合成，这正是一维谐振子转换成用矢量圆描述的重要性之根本所在。

图-9

当引入矢量旋转圆以后，对谐振波波动一周期的能量描述可以有三种方法，即

Ek=hγ=mv²(max)=kA².

这三种描述是等价的，其中A为波源振子m的最大振幅，k=m/ω²是波源谐振系数，r是以A=r的矢量圆半径，γ是振幅A矢端在矢量圆上运动的频率，v(max)是谐振子振动的最大速度，h是2π倍矢量圆的角动量，即h=2πmv(max)r.（注意，h的这种定义形式将会在德布罗意驻波中用到！）。

我们这里之所以要将谐振波能量用E=hγ形式写出来，是因为后来的量子力学在描述电子一维谐振动、粒子波中都会出现，虽然它们描述的对象不同于机械波，但与波能定量描述的思维是一致的，而且通过这种认知，可以更能看清粒子波能量的来源及其传递能量的本质；同时，用旋转矢量也可以表示经典电磁学中偶极谐振子振动所发射的电磁波运动及量子力学中普朗克谐振子振动所辐射的能量子运动，进而推出爱因斯坦光量子所具有的能量及波粒二象性的本质。

因此说，简谐波与矢量圆模型在物理学波动理论中占有举足轻重的位置。