关于概率论的实例（坤鹏论熵使概率论与物理学发生了联系）
关于概率论的实例（坤鹏论熵使概率论与物理学发生了联系）它还有数学公式；它还有多种不同的表述；一、夯实基础认知，热力学第二定律有什么用？热力学第二定律对于许多人有点难懂的主要原因是：它有太多的复杂术语；
从整齐到凌乱是自发的过程，反过来从凌乱到整齐则需要做出特殊努力，这就是我们身边的熵增原理。
——坤鹏论
1938年，天体与大气物理学家埃姆顿在题为《冬季为什么要生火》的短文中这样写道：
“在自然过程的庞大工厂里，熵原理起着经理的作用，因为它规定整个企业的经营方式和方法，而能原理仅仅充当簿记，平衡贷方和借方。”
一、夯实基础认知，热力学第二定律有什么用？
热力学第二定律对于许多人有点难懂的主要原因是：
它有太多的复杂术语；
它还有多种不同的表述；
它还有数学公式；
最重要的一点是，大多数人不理解，这条定律有什么应用。
你是不是觉得一谈数学公式就头疼？
头疼的关键并不是它真的很难。
而是你并不是真心想学习，或者不是想搞明白热力学定律以及熵是怎么回事。
这不怪你，这是因为你并不知道，这些东西对你有什么用。
人都是趋利避害的，有利益，拼了命也要去追，何况几个数学公式呢？！
所以，如果你没有被某个知识所吸引，只说明你还不知道它对你有什么用而已。
热力学第二定律的主要用途之一是，决定一个过程是不是自发进行的。
比如：
两种气体混合在一起；
气球正在漏气；
一个物体正在下落；
一杯热茶正在变凉。
这些都是生活中最常见的现象。
它们的共同点都是，从一个状态变为另一个状态，而且它们都是自发进行的。
也就是它们不需要任何外部帮助。
但是，如果这些过程反过来呢？
也就是它们的反向过程可以自发地进行吗？
混合在一起的气体可以自发地、不需要任何外部帮助分开吗？
显然，这是不可能的。
所以，这些现象如果能够反向，必然不是自发过程。
但是，根据热力学第一定律（能量守恒定律），即使是反向过程也是有可能的。
因为两个状态的能量是相同的。
而且，永动机2.0也应该早就制造出来了。
正是这样的大量事实证明着，热力学第一定律肯定不完整。
一定还有另外的定律，控制着过程进行的方向。
这个定律会告诉我们，能量转化过程中能量质量的变化特点。
这就是热力学第二定律。
昨天坤鹏论讲过的克劳修斯不等式的意思就是，冰箱这样的循环系统，所有在边界处发生的热量转换过程÷边界处的温度，结果值会小于或等于0。
它对所有循环过程都成立。
上图中上方显示的是最标准的克劳修斯不等式，其中取“＝”时，就是克劳修斯等式；取“<”号时即克劳修斯不等式。
如果工作物质（即系统）的状态是连续改变的，比如：冰箱。
就可以认为它与一系列连续改变温度的高温热源和低温热源进行热量交换，且每次交换微量的热量dQ。
热力学第二定律还让我们明白了，热源温度越高，它所输出的热能转变为功的潜力就越大（效率高）。
也就是说，较高温度的热能有较高的品质。
一切不可逆过程实际都是能量品质降低的过程。
当热量从高温热源不可逆地传到低温热源时，尽管能量在数量上守恒，但能量品质降低了，即不可用的能量增加了。
热力学第二定律提供了估计能量品质的方法。
二、熵，由两部分组成
这个很多人有误解，所以坤鹏论再强调一下。
熵，由有两部分组成。
第一部分表示系统的混乱程度，第二部分描述热量转换的影响。
这块大家要牢记一下！
也就是，熵，不仅只是混乱程度，它还包括另一部分，即热量转换。
简而言之，一个过程的熵变可以定义为——这个过程中产生的熵和转换的熵之和。
对于一个完全可逆的过程来说，当这个过程中没有摩擦和混合，它产生的熵等于0。
这恰恰对应坤鹏论在前面所讲的，产生的熵只与过程是否可逆有关。
当然，概率告诉我们，完全可逆只是个传说，它代表的是极限值。
不过，我们要明白的是，熵在计算上确实由两部分组成，但是，从其本质而言，不管是产生的熵，还是转换的熵，它们都是熵，都是无效能量，结果都是无序，熵越增越无序越混乱。
熵的本质是混乱程度。
三、墓碑上的公式
1.热力学——知其然不知其所以然
著名物理学家理查德·费曼曾在一次物理学演讲中回答了下面的问题 ：
“假如在一次浩劫中，所有的科学知识都被摧毁，只剩下一句话留给后代，什么语句可用最少的词包含最多的信息？”
“我认为它是原子假说，即万物由原子组成，它们永恒运动，并在一定距离以外相互吸引，而被挤压时则相互排斥。
这句话充分包含了关于这世界的信息，需要一点点想象力和思考能力。”
这个说法恰恰就是复杂性系统所传递的核心思想——再伟大的系统也源于渺小的个体，复杂性系统不过是渺小个体自组织行为相互作用的整体表现，没有个体一切皆空。
热力学是热现象的宏观理论。
它探讨的是温度、能量、熵等宏观物理量之间的基本规律。
它既是科学，也是哲学。
优点是，具有广泛的普适性和高度的可靠性。
当然，缺点也很明显，它不研究物质的微观结构和微观粒子的运动状态。
简单讲，就像熵，热力学第二定律定义了它，但是，并没有解释——为什么总是有一部分能量无法再利用？
这就是典型的知其然而不知其所以然。
延伸开来，还有其他一系列问题，比如：
为什么在孤立系统中，一切与热相关的现象，自发过程会使系统的熵增大？
为什么与热相关的一切宏观过程都是不可逆的？
……
对于这些问题，热力学都不能给予本质的回答。
正如费曼的那段话所说，要想知事物本质，往往要从微观看起。
恰恰，刚才这些问题就牵扯到了统计力学（又称统计物理学），它用统计的方法来研究微观到宏观。
2.墓碑上的公式
维也纳的中央坟场，有一个人的墓碑上没有墓志铭，只有一个公式：
S＝k. log W
这就是著名的玻尔兹曼关系式，它为熵做出了微观的解释。
墓碑下长眠的人就是奥地利物理学家玻尔兹曼。
历经时间大神的考验，该公式已经成为了物理学中最重要的公式之一。
可与之媲美的似乎只有牛顿的运动定律：
F＝ma
以及爱因斯坦的质能关系：
E＝mc²
哥德的《浮士德》中有这样一段话完全可以拿来评价这三个公式：
“写下这些记号的，难道是一位凡人吗？”
玻尔兹曼也曾说过一句话来表达自己对那些非凡“记号”的赞叹：
“难以置信：结果，一旦发现，是如此自然、简明；而到达的路途却漫长而艰辛。”
它与中国诗词的最高境界惺惺相惜——众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。
2.雄牛与灵巧剑手的对决
玻尔兹曼终身信奉原子，他致力于探究热力学底下的微观层次中的原子机制。
“当代的原子理论能够对于所有力学现象给出合理的图像……图像还进一步包括热的现象。只是由于计算分子运动极其困难，才使这一点的演示还不十分清楚，无论如何，在我们的图像之中可以找到所有的主要事实。”
正是他的不懈追求、努力和坚持，为统计力学的奠基和发展做出了巨大贡献。
甚至，对于复杂性科学也有着深刻的启迪意义。
玻尔兹曼身处在十九世纪下半叶，那时热力学分为两派。
主力派，以马赫和奥斯瓦尔德为代表，崇尚实证论，唯能论。
他们认为物理学的任务就是研究能量的改变与转换的规律，而研究分子运动就是多余。
并且，对任何从原子论的角度探讨其微观机制的科学家，嗤之以鼻。
另一派就是以玻尔兹曼为代表。
当时，两派的争论十分激烈，有人甚至比喻为雄牛与灵巧剑手的对决。
雄牛指玻尔兹曼，灵巧剑手则为主力派。
名言说，真理总是掌握在少数人手里。
但是，现实中话语权却在声音最大的一方。
默默地逆向而行，你只需要和自己抗争，如果逆向而行，还要劝世人转头，代价往往是输掉自己。
“我意识到我只是一个软弱无力地与时代潮流抗争的个人。”
这是玻尔兹曼在晚期著作中的一句话。
1906年，玻尔兹曼因抑郁症自杀，两派之争自此结束。
他去世之后不久，在1908年，佩兰在实验中观测到分子确实存在，打破了分子、原子不可观测的神话。
四、温故知新：微观态和宏观态
在《“熵”晦涩难懂？那是因为没学习这几个名词！》中，坤鹏论讲了统计力学最重要的两个概念——微观态和宏观态。
让我们再将四个分子的图片拿过来，一起把要点温故一下，因为它们将有利于理解后面的内容。
要点1：统计力学主要是在物理学中引入了数学的概率论，而统计的核心就是概率。
要点2：宏观态——它不管分子姓甚名谁，不区分具体分子，只描述某个状态中有多少个分子。
要点3：微观态——不仅描述每个状态有多少个分子，还具体描述哪个分子处于哪种状态。
要点4：不管开始的时候如何，最终箱子中的气体分子都会向最无序的状态发展，也就是2:2。
要点5：包含微观态数最多的宏观态是出现概率最大的状态。
也就是，系统某宏观态出现的概率与该宏观态对应的微观态数成正比。
要点6：平衡态是概率最大的宏观态，其对应的微观态数目最大。
总结一下以上要点中的要点：
热力学第二定律的统计意义是，孤立系统中发生的一切实际过程都是从微观态数少的宏观态向微观态数多的宏观态进行。
五、用微观态和宏观态解读这些概念
让我们切换到统计力学的角度，用微观态和宏观态来解读以下概念：
1.功热转换
功转化为热就是，有规律的宏观运动转变为分子的无序热运动。
这种转换的概率极大，可以自动发生。
相反，热转化为功的概率极小极小，所以，实际上不会自动发生。
起码从宇宙诞生之初到现在，还没有发生过。
2.熵
还记得为什么要为热力学第二定律提出数学公式，并引入熵的概念吗？
统计力学角度的解释是：
既然热力学第二定律实质就是，能量转化的过程。
那么，状态1到状态2，能不能自动进行？判断的依据是什么？
在孤立系统中，总是微观态数少的宏观态向微观态数多的宏观态转化。
即从几率小的状态向几率大的状态演变。
为了定量的表示系统状态的这种性质，从而定量说明自发过程进行的方向，就要引入熵的概念。
一个系统的熵是该系统微观态的量度，是系统内分子热运动的无序性的一种量度。
系统某热力学状态（宏观态），熵的大小取决于这一状态对应的微观态的数目多少。
微观态的多少反映了系统无序度（混乱度）的大小。
特别提醒注意一点，熵是一个宏观量，它对大量的分子才有意义。
六、玻尔兹曼关系式
1877年，玻尔兹曼发表了论文——《第二定律与机械热理论的关系以及热平衡定律的概率计算》。
该论文建立了第二定律与概率论规律之间的直接联系。
他用了后面这个关系式来表示系统无序性的大小。
也就是——熵：
S∝lnΩ
1900年，普朗克引进了比例系数k（被称为玻耳兹曼常数），将上面的公式写为：S=klnΩ
但是，他依然以玻尔兹曼关系式（或玻尔兹曼公式、玻尔兹曼熵公式）为其命名。
这个公式的含义是，不可逆的热力学变化是一个趋向于概率增加的态的变化。
其终态是相应于最大概率的一个宏观态，也就是最无序的状态。
玻尔兹曼关系式的重要意义在于：
把宏观态的量（熵S）和微观态数量联系在一起，在宏观和微观之间架设一道桥梁。
既说明了微观态数量的物理意义，也给出熵函数的统计解释，其实也就是微观意义。
玻尔兹曼关系式代表着，物理概念第一次用概率形式表达出来 ，意义深远。
正如诺贝尔物理学奖获得者德国物理学家马克斯·冯·劳厄所评价的：
“熵与概率之间的联系是物理学的最深刻的思想之一。”
七、玻尔兹曼对熵的解释
玻尔兹曼对熵做出了令人信服的解释。
他认为，任何粒子的常态都是随机运动，也就是无序运动。
如果要让粒子呈现有序化，就必须耗费能量。
所以，能量可以被看作有序化的一种度量。
而热力学第二定律实际说的是，能量转化的方向，反映了能量的有序和无序的差别。
那什么是有序能量，什么又是无序能量呢？
它们的定义基于自然界能量转化方向的规律性：
有序能量可以全部无条件地转化为无序能量，而无序能量全部转化为有序能量是不可能的或有条件的。
也就是说，一旦能量以无序化的形式存在，就无法再利用了。
除非从外界输入新的能量，让无序状态重新变成有序状态。
从上面这段话，特别是无序化代表着混乱（其实就是无规则地随机运动），可以得出以下三个结论：
第一，如果没有外部能量输入，孤立系统趋向越来越混乱（熵越来越大）。
比如：如果房间无人打扫，不可能越来越干净（有序化），只可能越来越乱（无序化）。
第二，如果想让一个系统变得更有序，必须有外部能量的输入。
第三，当一个系统（或部分）变得更加有序，必然有另一个系统（或部分）变得更加无序，而且无序的增加程度将超过有序的增加程度。
我们可以用一块冰来对应上面三个结论。
如果没有外部能量输入，在常温下，冰块将会融化（对应结论一）。
如果让它不融化，必须有外部能量的输入（对应结论二）。
当它能够保持冰的状态不融化时，周围的温度必然会升高（对应结论三）。
前面讲了，热力学第二定律之下，热总是会分成两部分——内能＋熵。
所以，不管我们运转什么样的机器，加入的能量都不可能100%转换为做功。
比如：之前讲过的燃气涡轮机，它的效率接近50%。
这个近50%就是热转换成内能的比例，剩下的50%左右自然就是熵。
排放到空气中，耗散成了热辐射、震动、噪音。
这些都是能量无序化的体现。
而玻尔兹曼熵公式，其实就是对能量无序化的度量，也就是计算出有多大无序化的几率。
自从，熵的本质才逐渐被解释清楚。
即，熵的本质是一个系统“内在的混乱程度”。
熵增加的过程就是系统混乱程度增大的过程：
熵小，意味着系统混乱程度小；
熵大，意味着系统混乱程度大。
熵代表了一个系统的混乱程度。
所以，熵是系统混乱度的度量。
这样，熵的物理意义也走进了千家万户，成为日常生活中熟悉的原理，比如：
任何事物如果听其自然发展，混乱程度一定有增无减；
书本整齐地摆在书架上，对应的是低熵态；
书本凌乱地摊在书桌上，对应的是高熵态。
从整齐到凌乱是自发的过程。
反过来从凌乱到整齐则需要做出特殊努力，这是非自发的过程。
这就是我们身边的熵增原理。
到这里联系之前讲过的混沌边缘，是不是又有所明悟呢？
八、总结
最后，再从统计力学的微观态和宏观态角度总结一下热力学第二定律。
一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，而且各种不可逆过程是相互关联的，比如：
微观粒子热运动无序度→微观粒子热运动无序度大
包含微观状态少的态→包含微观状态数多的态
热力学几率小的态→热力学几率大的态
熵小的态→熵大的态
能量品质高→能量品质低
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