初二数学平行四边形求解：平行四边形中方程
初二数学平行四边形求解：平行四边形中方程设BC=5x，CD=4x，∴4BC＝5CD，即BC：CD=5：4解：在ABCD中，CD＝AB.∵ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，AE＝4，AF＝5，
在平行四边形这一章节中，除了几何思想外，还可以与代数思想相结合在，真正做到数形结合。平行四边形中方程思想、转化思想与构造思想很重要，需要做到活学活用。
在几何图形中，有些题目需要设未知数找等量关系比直接解题要方便简单，常见的为已知四边形的面积、周长、线段的和差关系等。
例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，A＝5，四边形ABCD的周长为36，求AB，BC的长．
分析：已知平行四边形的周长，利用公式可知邻边之和为周长的一半，根据平行四边形的面积不变（即等积法）可得到邻边之间的倍数关系，通过设两个未知数，得到关于邻边的方程组，求出方程组的解即可。
解：在ABCD中，CD＝AB.
∵ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，
AE＝4，AF＝5，
∴4BC＝5CD，即BC：CD=5：4
设BC=5x，CD=4x，
又2(AB＋BC)＝36，
∴AB＋BC＝18，即BC＋CD＝18，
∴5x 4x=18，解得：x=2
∴BC=5x=10，CD=4x=8，
即AB＝8，BC＝10.
巩固练习：已知平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC，BD相交于一点O，且△AOB的周长比△BOC的周长大4，求AB，BC的长．
转化思想平行四边形的一条对角线可将平行四边形分割成两个全等的三角形，两条对角线可将平行四边形分割成四个三角形，相对的两个三角形全等，四个三角形的面积相等，都等于整个平行四边形面积的四分之一。解决四边形的长度、面积问题时有些时候需要转化为三角形问题，有时也需要用四边形的中心对称性进行转化。
例题2：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD于点E，交BC于点F，若ABCD的面积为30 cm2，求图中阴影部分的面积．
分析：求阴影部分的面积，阴影部分由三个三角形组成，如果一个一个求三角形的面积，比较繁琐，如果用平行四边形的中心对称性进行转化就可以轻松解决了。可以证明△BOF与△DOE全等，根据全等三角形的面积相等，可将△BOC的面积转化为△DOE的面积，那么阴影部分的面积即为△ACD的面积，而△ACD的面积又等于平行四边形ABCD 面积的一半。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，DC＝BA.
∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴S△ABC＝S△CDA＝SABCD÷2＝15(cm2)．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，AD∥BC.
∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO.
∴△DOE≌△BOF，
∴S△DOE＝S△BOF.
∴S阴影部分＝S△BOF＋S△AOE＋S△COD ＝S△DOE＋S△AOE＋S△COD＝S△CDA＝15 cm2.
巩固练习：如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH过点O与AD交于点G，与CB交于点H。求证：GF＝EH.
构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法．对于某些问题，常采用构造平行四边形的方法，从而利用平行四边形的性质使问题变得简单。
分析：本题可以利用倍长中线法来解题。延长AD至N，使DN=AD，连接BN，可证明△BDN≌△CDA（SAS），则BN=AC，∠CAD=∠N，根据AE=EF，得∠CAD=∠AFE，可证出∠N=∠BFG，即得出AC=BF，也可构造平行四边形来解决。
证明：如图，延长AD至N，使DN＝AD，连结BN，CN，则四边形ABNC是平行四边形．
∴BN＝AC，BN∥AC，
∴∠BNA＝∠NAC.
∵AE＝FE，
∴∠FAE＝∠AFE.
∵∠AFE＝∠BFN，
∴∠BFN＝∠BNF.
∴BN＝BF，
∴BF＝AC.
