全等三角形两条线段相加最值问题，等边三角形手拉手几何综合

全等三角形两条线段相加最值问题，等边三角形手拉手几何综合∵△ABC是等边三角形（2）CA CD=CE 理由如下：（3）①当BD为何值时，∠DEC=30°.（直接写出结果） ②点 D 在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请直接写出△DEC 周长的最小值；若不存在，请说明理由.解：（1）等边

23.已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A按逆时针方向

旋转60°得到AE 连接DE.

（1）如图 1，猜想△ADE的形状是 三角形（直接写出结果）；

（2）如图 2，猜想线段CA、CE、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）①当BD为何值时，∠DEC=30°.（直接写出结果）

②点 D 在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请直接写出△DEC 周长的最小值；若不存在，请说明理由.

解：（1）等边

（2）CA CD=CE 理由如下：

∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC=BC ∠BAC=60°

∵AD=AE ∠DAE=60°

∴△ADE是等边三角形

∴∠BAC ∠CAD=∠DAE ∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

在△BAD和和△CAE中

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴BD=CE

∵BD=BC CD BC=CA

∴BD=CA CD

∴CA CD=CE

（3）①

当点D在BC上时

∵∠DEC=30° ∠AED=60°

∴∠AEC=90°

∵△ABD≌△ACE

∴∠ADB=∠AEC=90°

∵AB=4 ∠B=60°

∴BD=2

当点D在BC延长线上时

∵∠DEC=30° ∠AED=60°

∴∠AEC=30°

∵△ABD≌△ACE

∴∠ADB=∠AEC=30°

∴∠BAD=90°

∵AB=4

∴BD=8

∴BD的值为2或8

②∵C[△DEC]=CD CE DE

∴点D在BC上可能存在周长最小值

（点D在BC延长线上时，CD DE CE都逐渐增大）

当点D在BC上时

∵△ABD≌△ACE

∴BD=CE

∵BD CD=BC

∴CE CD=BC

∴C[△DEC]=BC DE=4 DE

∴当DE最小时，C[△DEC]最小

∵AD=DE

∴AD⊥BC时，DE最小

∵AB=4 ∠B=60°

∴AD=DE=2√(3)

∴△DEC周长存在最小值，最小值为4 2√(3)

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