数学是一个发明还是一个发现：数学是发明还是发现

数学是一个发明还是一个发现：数学是发明还是发现人们认为，艺术和数学是两码子事，其实两者之间是有关联的。首先，数学是建基于逻辑——严密的逻辑思维。在哲学领域里，同样也十分注重逻辑和思考分析。例如，两位在不同年代的伟大哲学家，古希腊的柏拉图和近代的罗素，他们亦为数学家，因为二人的思想都采用大量数学语言，无可置疑，逻辑属于哲学的一部分。数学是艺术也是科学迈克尔·阿蒂亚爵士的主要研究领域是几何，而到20世纪70年代他把重心转移到数学物理学上。 1960年代他与艾沙道尔·辛格建立合作关系，共同证明了阿蒂亚-辛格指标定理，该定理在数学的一些领域均有重要作用。因此他在1966年荣获菲尔兹奖，2004年又与艾沙道尔·辛格共同获得阿贝尔奖。除此之外，迈克尔·阿蒂亚爵士在拓扑、微分方程、数学物理、代数等领域也有杰出成就。1983年，被英国皇室授予下级勋位爵士。1992年，获得英国功绩勋章。“数学，是发明还是发现?”，这是一个相当富哲学性的题目。这个题目并

作者 | 阿蒂亚(Sir Michael Francis Atiyah)

来源 |《数学与物理最前沿》

迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929年4月22日~2019年1月11日），英国数学家，毕业于剑桥大学三一学院，前英国皇家学会会长，被誉为20世纪最伟大的数学家之一。

迈克尔·阿蒂亚出生于英国伦敦，童年时代在中东地区度过，1945年跟随家人移居英国，之后以前三名的成绩考入剑桥大学三一学院。1955年获得博士学位，毕业后在普林斯顿高等研究院、剑桥大学彭布罗克学院、牛津大学等学术机构研究、任教，并在1962年成为英国皇家学会会员。

迈克尔·阿蒂亚爵士的主要研究领域是几何，而到20世纪70年代他把重心转移到数学物理学上。 1960年代他与艾沙道尔·辛格建立合作关系，共同证明了阿蒂亚-辛格指标定理，该定理在数学的一些领域均有重要作用。因此他在1966年荣获菲尔兹奖，2004年又与艾沙道尔·辛格共同获得阿贝尔奖。除此之外，迈克尔·阿蒂亚爵士在拓扑、微分方程、数学物理、代数等领域也有杰出成就。1983年，被英国皇室授予下级勋位爵士。1992年，获得英国功绩勋章。

“数学，是发明还是发现?”，这是一个相当富哲学性的题目。这个题目并非专为数学家而设，而是适合更广泛的读者。我们真正关心的，是数学与现实世界及其他事情之间的关系。

数学可以说是处于艺术和科学之间的学科，而数学和科学的关系，几乎人所共知。例如牛顿、麦克斯韦(James Clerk Maxwell)和爱因斯坦所提出的理论，是建基于很坚实的数学基础之上。反过来，科学家的观察和理论验证，又对数学的发展产生很大的影响。然而，数学与艺术之间的关系，便不是那样显而易见了。

数学是艺术也是科学

人们认为，艺术和数学是两码子事，其实两者之间是有关联的。首先，数学是建基于逻辑——严密的逻辑思维。在哲学领域里，同样也十分注重逻辑和思考分析。例如，两位在不同年代的伟大哲学家，古希腊的柏拉图和近代的罗素，他们亦为数学家，因为二人的思想都采用大量数学语言，无可置疑，逻辑属于哲学的一部分。

同时，逻辑也是建构艺术的基础。

当我们说到某些艺术的项目，如绘画，便会趣用到很多透视的方法，也即是空间里的三维观点;透视圆法，亦被视为绘画艺术发展的一大发现。又例如音乐，音乐使用了音符作为基础，但当中的和弦其实是一种十分精确和美妙的数学形式，这也表现出艺术和数学的关系。建筑学追求的是建筑物的美，这取决于建筑物本身的比例和规模等;无论是几何学，或几何学建筑，都是建筑学中的十分重要的部分。

数学与大量艺术项目之间的关系可谓千丝万缕。概言之，艺术就是主观的美。在物理学，对美的追求，是来源于艺术的基本概念。同样，对美的追求，在数学亦是重要的环节;因此可以说，数学既是艺术，也是科学。

科学和艺术之间的区别，可以这样加以阐释——科学家孜孜不倦去钻研和发现在他眼前的世界，借着科学我们可以发现事物的真相和自然世界的法则，比如科学家发现了高温超导电性，这个发现就是建基于从观察中得出的论据。另一方面，艺术则是人类的一种创作。人在思考中，获得了重要的发现和感悟，这个发现的基础并非建立在理性思考，而是在感情上。

表面上，艺术和科学是根本上相逆的东西，但事实并非如此。

数学模型来自思维概念

让我从人类发展的历史，回溯到数千年前，现实世界和人类之间有什么关联。什么是现实世界?它意味着什么?当时的人类是如何思考这个世界?我们不理解现实世界，也不理解思维，更不理解它们之间的关系。

这是其中一个重要的哲学问题。当然，哲学问题并不必然有确切的答案。我们能通过提出问题，从中学习获得智慧，但却永不能得到一个确切的答案。因此，古今哲学家为了一个哲学问题，而消磨了上千年时间。事实上，人类提出科学理论，是把我们所观察到的事物，以一个模型或框架去理解、解释和发展规律。这样，在某种程度上，科学理论和数学模型十分类似。它们都是人类思维内的概念，我们可将这些概念，加诸在外间所观察的事物，好以理解它们。

因此，在某程度上，科学有两个部分，包括外间实验的数据，以及人类内在思维所得的数学模型，并尝试把两者融合起来，得到一个整体的认识。同样的，艺术也有两个部分。一、源于艺术家发自内在感受的创作，二、在外在物理上所受到的约束。例如，数学结构和建筑物的透视点都受到来自外在的约束，是艺术家不能置之不理的。

所以，艺术家应用他们的创作，但也是生活在各种已被发现的“框架”之内，所谓“鱼在水中，水也在鱼中”。在某程度上，艺术和科学都分享着同样的特性，就是它们在“发现”这些框架，并在这框架之内进行各种创作。

这框架是科学所仗赖的数据，或是我们研究能力所及的范围。艺术家同样面对框架，但他们尝试把自己的意念形象化。理性和感性是科学的基础，也是艺术的基础，但大多数人都认为，二者是河水不犯井水，甚至风马牛不相及。然而，从近年有关人脑的研究，我们知悉了一些令人振奋的成果，它显示出人脑中理性和感性，彼此相互影响着“你中有我，我中有你”。或许，我们能在将来对这方面知道更多，了解更多。所以，数学是艺术也是科学。

柏拉图世界是早已存在还是创造出来的?

让我们尝试从多种方法去说明这两个方面。问题在于，数学家所发现的东西，是存在于现实世界中?还是存在于柏拉图式的理想世界?柏拉图用他构想的概念来理解数学，例如，他认为圆形可以是完美的。但完美的圆，在现实世界中从不存在，所有我们所画的圆形，总会带点棱角。

事实上，完美的圆形只是一种想法。我们现在称柏拉图式的世界，确实是一种想法，一个理想世界。在现实世界中，我们见到的圆形，只是柏拉图理想世界的一种想法、反映和替代。但也有人相信，柏拉图世界确实存在，在那里，所有伟大的数学想法都能完美地、和谐地共存。然而，现实世界里竟存在着杂乱，于是科学家便以某些方法，把现实世界和想像世界两者合并。

接下来，大家也许会问:究竟柏拉图式的世界是否从一开始就存在，只待我们去发现吗?抑或纯粹是人类智慧所创造的?它是一件发明还是一次发现?也就是说，我们发明了柏拉图式的世界，接着，这个理想世界反映了现实世界。

这是一个已存在了上千年的疑问。这正是一条我们可以辩论，却会获得不同答案的问题。一般来说，我们从一些基础层面的例子去探讨这些问题，会比进行抽象层面的哲学讨论，会更加有效。因此，我将透过一些简单的例子，去讨论这个问题:数学是一种发明，或是发现?

在进一步讨论之前，让我指出一点。香港是一个以商业为本的城市。许多人们来到大学念书或教书，都难免考虑到金钱和物质的问题。从这方面来说，发明和发现之间的一个主要区别，就是透过发明可以获得专利权，从中可以赚取金钱，而发现却不是。例如，马克士威引进了电磁学理论，如果他发现的公式可以取得专利，恐怕他已经和微软的盖茨一样富有了。但是，你不能为自己所发现的东西取得专利权。人类基因组是近期另一个例子，并且引起了许多争论，比如说，我们能否为人类基因的发现而取得专利?因为这个题目涉及庞大的利益，所以经常引起广泛的争论。因此，这是一项发明还是发现的问题，不纯然是一个哲学议题，也引起了强烈的商业回响和争论。

现在，让我先以柏拉图和希腊人的数学概念作为我们讨论的一个例子。柏拉图感兴趣的其中一个问题，是著名的“正多面体”，也被称为“柏拉图立体”。“正多面体”有 5 个:

正四面体，由4 个三角形组成;

正六面体，即正立方体;

正八面体，即一个双金字塔;

正十二面体，每一个面皆是正五边形;

正二十面体，每一个面皆是等边三角形。

一个正四面体有4个顶点，6 条边和4个面;

正方体有 8 个顶点，12 条边和 6 个 面;

正二十面体，有20 个三角形的表面，12 个顶点，和30条边。同时，它们成双出现，就是面的数目和顶点的数目，可以互相交替，称为对偶。首要的问题是，像正二十面体或其他立体的这些物体，究竟是被发现还是被发明出来?

你可以争论:立方体是一件明显存在于周围中的东西，就像方糖一样;而四面体或许也是这样。但是，于大自然中找到正二十面体却十分困难。我不认为它们以任何形式存在，所以，正二十面体看来更加像是一件人类的发明。虽然它的存在归功于柏拉图，但我发现事实上在公元前2000年，即4000年前的苏格兰，便存在着正二十面体和所有5个正多边形立体。这比柏拉图的年代更早出现，至少比柏拉图早了千年。这些可能是文物的石块，出现于苏格兰还没发展出高度文明的一个时代里，而当时已经有人研究出如何做出全部五个立体。

球体内接多面体的奥秘

起初，我估计它是个某时某地某些天才做出来的个别例子，但似乎还不止如此，因为那里有数以百计这样的石块，遍及整个苏格兰。因为某些未知的原因，当时有人发现这些石块，并对它们爱不释手，然后更受到整个社会的重视。这是一次十分重要的观察，迄今为止，在一个没有已知文字或文明的古代竟然有古人发明这些数学物体，实在令人百思不得其解。当然，我并不知道这是否最远古的例子。或许在4000年前的中国，也有人曾经发现正二十面体，但至少迄今为止，苏格兰仍保持这项记录。

到了今天，我们发现了当中一些奥秘，这些数字之间存在一些简单的关系。这些立体的数学关系是欧拉(Leonhard Euler)发现的，被称为“欧拉公式”。

F V-E=2:顶点(V)的数目减去边(E)的数目加上面(F)的数目等于2。

从这五个例子，我们很容易便能得出这个简单的关系。但欧拉想得更深，他观察出的规律，不仅能套用到柏拉图立体上，更能套用到所有球体内接的立体上，所有这些立体的数字之间都能符合这种关系。讨论至此，你也许会问，这是一种发现，还是一件发明?我偶能找到更多，但能将这个公式应用得多远?

结果，它成为数学里一个十分重要的公式。数百年来，这公式有不同的演变，但它仍然是数学中的核心部分。事实上，中国数学家陈省身教授的研究工作，都与这公式有密切关系。如果我们能在自然界中发现这些公式，就能看得见这些事物。如果二十面体是你发明的，你就是发明了这条公式。

这就是有关发现还是发明的讨论的第一个例子。

有多少数是上帝的创造?

让我回溯得更远。数学中，最原始的是什么?数学是从哪儿开始?也许你会回答:由数和计算开始，1、2、3、4、5.....一堆整数。著名的德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker)说:“整数是上帝创造的，其余都是由人所凑成”。人类发现了整数，又制造所有其他的东西。

第一个问题是，0又如何呢?0也是一个整数。在1之前，首先是0。0无疑也是一个重要的整数。它是一件发明，还是一种发现?0早就存在，抑或是我们的发明?我真想说0是一个发明，但事实上这是个很难处理的问题。

然后是十进位的标记法。当我们开始写下数，就是在组织数。同时，十进位的标记法是在数学中一个十分重要的部分。它当然不是一早就出现的，罗马人写了一个复杂的数学系统。在我来香港讲学暂住的饭店房间里，书桌上放了一个日历，上面印着小小的中文数，但这些数我看不懂，对我来说，它们就像罗马数一样。但无论如何，十进位的记数法是伟大发展的一步。有时候我会尝试认为它是一个发明，但是你也许会说数早就存在了，上帝所发明的世界早就如此，只是我们后来才发现它罢了。

再进一步讨论下去。数学家对整数又做了些什么?是的，数学家有时会埋首于有趣的事情上，他们并非对所有数都有兴趣，却去深究质数，质数是不能被分解成其他因数的整数。我都知道，6是2乘3的积。但如果将不可分解成因数的数字依次写出来，它们是2、3、5、7、11、13，可以无穷无尽地写下去;只是，数学家很难找到一个规则去描写出它们的全貌。专门研究数论的数学家喜欢质数，因为在分析整数的过程中，你可以将所有整数分解成质数的积。因此，质数可以被当成是整数的构件部分。构件往往具有引人入胜的吸引力，如果想了解某事物的结构，你将要仔细观察它的构件，从构件揭开它的面纱。原子是物质的构件，所以质数是算术的构件。

2的平方根是个什么样的数?

那么，长度又如何?长度是数，例如1、2、3、4、5，都是数。长度由数代表，而数又代表了长度单位?假如你拿一把尺子、一条绳或其他，你可标出它的长度。也就是说，长度是在现实世界中，一样能够量度的重要东西。当希腊人接触长度时，他们发现并非每个长度都能以数呈现出来。举例说，我们以一个单位长度作为一个正方形的边长，这个正方形的对角线的长度应该是一个数，而根据勾股定理，这条对角线的长度又应该是2的平方根。反过来说，这个数的平方，就是1 1。

2 的平方根这个数存在吗?迄今为止，所有的数都是整数或者是分数(例如:)。如果2的平方根这个数不是整数，它会是一个分数吗?很容易就可以证明 2 的平方根又不会是一个分数。

我来给大家做一个论证:我们用两个整数p、q来组成一个分数，这两个数可以约分时我们先将它们约分，到最后我们可以假设这两个数不会都是偶数。假设2的平方根=;，将这个算式平方，可得出，从而得知p是偶数。然后将p设为r的2倍，以2r取代p放回算式中，得出，互相再以2相抵，得出q=2r，从这里看，q是个偶数。这跟我们上面的假设又抵触了，所以又不能将2的平方根这个数写成一个分数。

这是数学其中一个最美的逻辑推论，证明出 2的平方根并不是一个有理数。这又会是个什么样的数呢?这个数存在吗?可以书写出来吗?这是个吊诡。2的平方根作为这个长度的数确实存在，但又不能写成那样，于是我们不得不发明一些数来表述这个数，其中一个方法，就是利用十进制，把2的平方根写成 1.4142135623731....。有些非凡的数学家能不假思索，就可以把这个数的 100 个小数位都写出来，我就做不到，只能自叹不如。

实数的发明是一大进步，但这个发明是由量度现实世界的物件而来的，因此我们也得建立一个方法，去处理这问题。