微积分导数笔记：夜话微言微积分基本定理

微积分导数笔记：夜话微言微积分基本定理如果组成图形的一条边（x轴）与另一条边（常量），则此图形就是一个长方形面或正方形，面积也是一个常量。由此可见，导函数与原函数有降维与升维的逆运算关系。f'(x²) = 2xf'(x³) = 3x²f'(x^n) = nx^(n-1)

函数关系

变量之间的数量关系。如位移与速度的关系，面积与边的关系，圆面积与半径的关系等。

导函数

一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢，即“变化率”，称为函数的导数。如有函数f(x)，导数用f'(x)表示：

而f(x)相对于导数f'(x)而言，可称为f'(x)的原函数。

直接利用上面的公式定义，通过分割、求和、求极限的黎曼和方法，可以求得：

f'(x²) = 2x

f'(x³) = 3x²

f'(x^n) = nx^(n-1)

由此可见，导函数与原函数有降维与升维的逆运算关系。

面积计算

如果组成图形的一条边（x轴）与另一条边（常量），则此图形就是一个长方形面或正方形，面积也是一个常量。

如果组成图形的一条边（x轴）与另一条边（变量y），两者不存在函数关系，如何计算其面积？

分割、求和，只能去近似整体面积（面积与边自然不存在函数关系）。

如果组成图形的一条边（x轴）与另一条边（变量y），两者存在函数关系f(x)，是否可以精确计算其面积A(x)?

如y=x²

有

通过分割、求和、可以求极限，得到黎曼和。当n→∞，上述区间面积＝1000/3。

面积A，相对于两条边x和f(x)，存在函数关系吗？

仿佛有降维与升维的关系？

定义面积函数为A(x)，如下图：

关键在于找出A(x)的一般表达式，这个表达式是积分表达式的替代，这个表达式里要没有符号∫、f、d，只包含变量x。

下面的F(x)、A(x)都是表示面积函数，字母用“A”还是用“F”，没有区别。

当积分的上限为x，在此基础上，做自变量x和面积函数的微分，自变量x增加一个极小值h(dt)：

上图淡红色的阴影部分 当 h 很小的时候几乎为小竖条 所以可以用计算长方形面积的方法来估算该竖条的面积 它的底从x 到x h 高从0 到f(x) 所以面积是 h*f(t) 也就是:

由此可见，函数f(x)的反导数就是面积函数F(x)，这就是微积分的基本定理。

从上面的图形可以看出，上下两条边有函数关系存在时，其面积是可以精确计算的。

x²的反导数为1/3x³，所以上述所需求出的面积为：F(10)-F(0)＝1000/3。

速度v，时间t、位移s

如果是匀速运动，那三者显而易见有确定的函数关系。

如果时间t与速度不存在函数关系，怎样通过时间和速度的测量去衡量移动的距离？只能一段一段去近似，测一个小时间段的速度和时间间隔：

∑(小段位移 = 这个时间间隔内的近似速度 * 时间间隔)

如果速度与时间存在函数关系，如有v(t)=t(8-t)，那是否可以精确计算位移距离？

由(t(8-t))'=8-2t＝0，求得当t=4m时，物体的最大速度是16m/s。速度v∈[0 16]，时间[0 8]，位移S粗略估计应该小于16*8=128m。

由上述长方形面积的推导可知，面积函数就是其边函数的逆运算。同样的，在当时间与速度存在函数关系时，位移函数与速度函数也是逆运算的关系。

S(t)=F(t)=∫(t(8-t)dt=4t²-1/3t³=4*8²-1/3*8³=85.33m。

参考

通俗演义微积分基本定理和公式的推导