平面向量和空间向量的不同：向量平面空间向量

平面向量和空间向量的不同：向量平面空间向量4、向量的坐标定理：设向量a≠0，那么，向量b与向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=λa。3、向量的运算：1）求和（结果仍是向量），利用三角形法则或平行四边形法则。2）向量和数的乘积（结果仍是向量）。

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向量：

1、有大小又有方向的量。如力、位移，速度等。

2、向量的大小称为向量的模，记作|a|。

3、向量的运算：

1）求和（结果仍是向量），利用三角形法则或平行四边形法则。

2）向量和数的乘积（结果仍是向量）。

定理：设向量a≠0，那么，向量b与向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=λa。

4、向量的坐标

1）（一个向量）：向量的坐标表示法：用向量的起点和终点两个点的坐标表示。

例如：向量a表示由点M1指向点M2的向量，M1（x1，y2，z1）为起点，M2（x2，y2，z2）为终点，则向量a表示为

a=M1M2=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）

即：向量的坐标为终点坐标减去起点坐标的对应坐标值。可理解为将向量a平移到起点与坐标原点重合。

2）（两个向量）：向量的加法、减法以及向量与数的乘积。

（1）向量相加时，向量之和的坐标为对应坐标值之和；

（2）向量相减时，向量之差的坐标为对应坐标值之差（前坐标-后坐标）；

（3）向量与数相乘，乘积的坐标为对应坐标值与数的乘积。

5、（一个向量）：向量的方向角：

非零向量a与三条坐标轴正向的夹角α、β、γ称为它的方向角。向量的模、方向角与坐标之间的关系如下：

ax=|a|cosα，ay=|a|cosβ，az=|a|cosγ，（1）

即，向量的对应坐标值等于向量的模乘以对应方向角的余弦值。

注：向量三个方向余弦值的平方和等于1

注：向量的模等于向量各坐标值的平方和开算术平方根。（求向量的模就是求向量（坐标点与原点连线）的长度，解三角形。）

再由式（1）可求出，各个方向余弦角。

6、（两个向量）：数量积、向量积、混合积

设两个向量的夹角为θ（0≤θ≤π）。

1）数量积：

向量a和向量b的数量积（点乘）是一个数量（实数），记作a * b，其大小为|a||b|cosθ。

注：向量a与向量b垂直的充分必要条件是a*b=0。(实数0）（因为，cos90°=0）

2）向量积：

向量a和向量b的向量积（×乘）是一个向量c，记作a x b，即 c=a x b，c的模记作|c|=|axb|=|a||b|sinθ。

即：两个向量积的向量积的模等于两个向量的模的乘积的正弦值。

向量c的方向垂直于向量a和向量b所决定的平面，c的指向按右手法则确定。

3）（两个向量）向量的坐标表示法：

向量a=（x1，y2，z1），向量b=（x2，y2，z2）

（1）数量积（点乘）：向量积等于对应坐标乘积之和（乘积是一个数量（实数））。

即：a*b=x1*x2 y1*y2 z1*z2

（2）向量积（×乘）：（乘积是一个向量）

axb=（y1*z2-z1*y2，z1x2-x1z2，x1y2-y1x2）（注：写成矩阵形式比较直观）

由向量积的定义可知，向量a与向量b平行的充分必要条件是axb=0（0向量）。

（3）混合积：

三个向量a、b、c的混合积是一个数量。这个数量通过先作前两个向量的向量积axb，再作数量积（axb）*c得到，混合积记作[abc]，即：

[abc]=（axb）*c

向量混合积[abc]的几何意义：（注：向量混合积应用，求空间任意四个点围成的四面体体积。）

[abc]这个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积，它的符号由向量a、b、c组成右手系还是左手系来确定，前者为正，后者为负。

常见考试知识点：

1）（一个向量）求向量的模、方向余弦和方向角；

求解过程：

通过两点坐标求得向量的坐标，再求处向量的模，再由公式向量的方向角的余弦值等于向量的对应坐标值比向量的模求得，最后通过反三角函数求得向量的各个方向角。

2）（两个向量）求两个向量的夹角

求解过程：

先求出两个向量的数量积（坐标运算）、两个向量的模（的乘积）；然后通过两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积的余弦值（求出cosθ），再用反三角函数求出夹角的数值。

3）向量定义的考察，如两个向量平行、垂直的充分必要条件。

4）求空间三角形的面积。（考点，向量的向量积，即×乘）（注：三角形的面积公式：面积等于两边之积乘以夹角的正弦值除以2。