初二判定平行四边形的方法:八年级学生把这五种方法掌握牢
初二判定平行四边形的方法:八年级学生把这五种方法掌握牢证明:∵ABCD为平行四边形CMAN是平行四边形。分析:(1)由ABCD为平行四边形可知CM//AN,由AE丄BD,CF丄BD可知AE//CF从而可得
八年级学生在学习平行四边形的判定时,常常不知道该如向运用题中的条件,不知道该用哪种方法去判定一个四边形是平行四边形。要学好平行四边形的判定需把这五种方法区分清、掌握牢。
方法一:(定义法)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
当题中条件已有一组对边平行时,再证明另一组对边也平行即可。
例1:如图,在平行四边形ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE丄BD,CF丄BD,垂足分别是E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N。(1)求证:四边形CMAN是平行四边形。(2)已知DE=4,FN=3,求BN
分析:(1)由ABCD为平行四边形可知CM//AN,
由AE丄BD,CF丄BD可知AE//CF从而可得
CMAN是平行四边形。
证明:∵ABCD为平行四边形
∴AB//CD,又∵M,N分别在DC,AB上
∴CM//AN
∵AE丄BD,CF丄BD
∴AE//CF又∵AE,CF分别交CD,AB于M,N
∴AM//CN
∴四边形CMAN是平行四边形。
分析(2)题中有垂直时,常把已知线段转化为同一个三角形的边,再利用勾股定理求解。
解:∵四边形CMAN是平行四边形
∴CM=AN
∵四边形ABCD为平行四行四边形
∴AB=CD,AB//CD
∴DM=BN,∠MDE=∠FBN
又∵AE丄BD,CF丄BD
∴∠AEM=∠BFN=90°
∴△MED≌△NFB
DE=BF=4,又∵FN=3
由勾股定理可得BN²=BF² FN²=4² 3²=25
∴BN=5
方法二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一般题中所给条件可直接得出一对对边平行,一般再利用题中其它条件,通过证明两三角形全等得出另一对对边也相等。
例:如图:在平行四边形ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF,
求证:四边形BEDF是平行四边形。
分析:先由题中条件给相等的边作相同的标记,可发现四边形DEBF中DE=BF,所以需再证DF=BE,根据图中标记可证△DFC≌△BEA即可证明。
证明:∵四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB,AD=BC,∠DCB=∠DAB
∵△ADE和△BCF为等边三角形
∴AD=DE=AE=BC=CF=BF,∠DAE=∠BCF=60°
∴DE=BF,AE=CF,∠EAB=∠FCB
在△DFC和△BEA中
DC=AB,∠EAB=∠FCB,AE=CF
∴△DFC≌△BEA
∴DF=BE,又DE=BF
∴四边形BEDF为平行四边形。
方法三:一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
当题中可找出一对边平行时,也可再证这对边相等;如果相等时也可再证这对边平行。
例:如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点,求证:四边形MFNE是平行四边形
分析:由题中所给条件易知AD=BC,∠B=∠C
从而可得△ADE≌△CBF,由此得DE=BF,再证平行即可。
证明:∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC,∠A=∠C,又AE=CF
∴△ADE≌△CBF
∴DE=BF,∠AED=∠BFC
又∵M,N分别是E,BF中点
∴ME=FN
在平行四边形ABCD中,AB//DC
∴∠AED=∠EDC,又∵∠AED=∠BFC
∴∠BFC=∠EDC
∴ME//FN又∵ME=FN
∴四边形MFNE是平行四边形。
四、对角线互相平分的四边形是平行四边形
当图形中有对角线时常用此方法。
例:如图,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH。
求证:四边形EGFH是平行四边形。
分析:由图中画出了EGFH的对角线,可证OE=OF,OG=OH,根据所作标记可证△AOE≌△COF,同理可证△AOG≌△COH。
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠EAO=∠FCO
∵O是AC中点
∴OA=OC
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
同理可得OG=OH
∴四边形EGFH是平行四边形。
五:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
当题中所给条件与角有关系时常用这种方法,这种方法判定平行四边形时用得较少。
如图在平行四边形ABCD中,BE,DF分别是
∠ABC与∠ADC的角平分线,求证:四边形BFDE是平行四边形。
证明:∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C,∠ABC=∠ADC
又∵BE,DF分别是∠ABC与∠ADC的角平分线
∴∠ABE=∠EBF=1/2∠ABC,
∠CDF=∠EDF=1/2∠ADC
∴∠EBF=∠EDF,∠ABE=∠CDF
∵∠BED=∠A ∠ABE
∠BFD=∠C ∠CDF
∴∠BED=∠BFD,又∠EBF=∠EDF
∴四边形BFDE是平行四边形。
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