常见三角方程的解法：三次方程引发的

常见三角方程的解法：三次方程引发的塔尔塔利亚曾暗示一位同事他已经解决了形如塔尔塔利亚而且当时数学上流行公开的挑战，挑战的结果可是直接关系到数学上的地位和名望。德尔·费罗在1526年去世，他将“压缩的三次方程”的解法论文传给了他的女婿安尼贝勒·德拉·纳夫，以及另一个学生安东尼奥·玛丽亚·费尔。费尔如获至宝，凭借着“秘籍”回到家乡威尼斯，成为了一个数学老师，并高调的放出声：他在解三次方程方面有特殊才能。在不经意间听到另一个威尼斯的数学老师塔尔塔利亚也有这种本事。要么说同行是冤家呢！于是费尔向塔尔塔利亚发出公开的挑战。1499年，塔尔塔利亚出生在意大利北部的布雷西亚，其父亲是一名邮差，家境贫寒，所以数学和科学知识都是靠自学。塔尔塔利亚在威尼斯定居后，以教数学为生。那时的数学老师，通过参加公开的论战和辩论，竭尽所能在公众面前保住声誉。

1945年意大利物理学家、数学家吉罗拉莫·卡尔达诺出版了一本《大衍术或代数学的规则》在数学界掀起了一场轩然大波。在书的开头，介绍了标准的线性和二次方程的解法，然后是当时的未知领域，三次和4次代数方程求解的完整过程。这本书自问世，影响了16世纪整个欧洲数学的发展。直到韦达和笛卡尔的出现，这本书的地位才被取代。《大衍术》刚刚出版，一位意大利数学家塔尔塔利亚开始攻击卡尔达诺。尽管卡尔达诺在书中的几个场合声明，书中一些基本的三次方程解法应归功于塔尔塔利亚。而塔尔塔利亚坚持说，当他向卡尔达诺展示它的解法时，卡尔达诺作为一个基督徒和绅士，信誓旦旦的承诺会在塔尔塔利亚的书之后出版自己的书。

欧洲文艺复兴开始于14世纪，是沉睡了1000年的欧洲智慧的苏醒和重生。临近15世纪末代数学里出现了数学史上第1个激动人心的时刻。早在古希腊，阿拉伯和印度数学家们已经可以解线性方程和二次方程。

阿拉伯数学家早在9世纪就针对某些三次方程，给出了几何解法，甚至是猜想。直到到1510年到1515年之间，博洛尼亚大学的数学教授皮奥内·德尔·费罗提出了第1个三次方程的代数学解法，一次真正的突破。他发明了一个解决“压缩的三次方程”的代数公式。

16世纪初，不是一个热衷发表的年代，没有同行评议的期刊，更没有互联网。如果谁能有个新的发现，会千方百计的设法将其严格保密，只有在确实有利时才会公开的使用。是不是很那理解！

而且当时数学上流行公开的挑战，挑战的结果可是直接关系到数学上的地位和名望。德尔·费罗在1526年去世，他将“压缩的三次方程”的解法论文传给了他的女婿安尼贝勒·德拉·纳夫，以及另一个学生安东尼奥·玛丽亚·费尔。

费尔如获至宝，凭借着“秘籍”回到家乡威尼斯，成为了一个数学老师，并高调的放出声：他在解三次方程方面有特殊才能。在不经意间听到另一个威尼斯的数学老师塔尔塔利亚也有这种本事。要么说同行是冤家呢！于是费尔向塔尔塔利亚发出公开的挑战。

塔尔塔利亚

1499年，塔尔塔利亚出生在意大利北部的布雷西亚，其父亲是一名邮差，家境贫寒，所以数学和科学知识都是靠自学。塔尔塔利亚在威尼斯定居后，以教数学为生。那时的数学老师，通过参加公开的论战和辩论，竭尽所能在公众面前保住声誉。

塔尔塔利亚

塔尔塔利亚曾暗示一位同事他已经解决了形如

的方程，这对费尔形成一个直接的挑战。1535年初，费尔公开向塔尔塔利亚挑战。按照他们的协议：每个人向对方出30道题，30天后，谁解的题多，谁就是胜利者。不用担心，没人能得到帮助和耍老千。

没人知道在论战指出塔利亚到底知道多少，但在1535年2月13日的晚上，他解决了两种形式的常数三次方程，这是一个巨大的成功。

这意味着他能解决费尔的全部题目。知己知彼，百战不殆。另一方面，塔尔塔利亚充分意识到费尔只能解一种三次方程。结果可想而知，塔尔塔利亚大获全胜，费尔在公众面前销声匿迹。

获胜的塔尔塔利亚，名声大噪，学生数量急剧增长。塔尔塔利亚选择严格保密他的新方法，以确保他在代数学的争端中保持常胜。众所周知，数学是个有实际用处的工具。当时西方列强在争夺意大利，将数学应用于弹道学是一个热门课题，塔尔塔利亚也投身其中。1537年，塔尔塔利亚不再关注三次方程，而去钻研弹道学，并出版了一本书《新科学》。正在前途一片光明的时候，另一个危险的对手吉罗拉莫·卡尔达诺杀了进来。

文艺复兴时期“多才多艺”的男人，卡尔达诺

卡尔达诺1501年生于帕维亚，父亲教他初步的数学知识，12岁以后，学习欧几里得几何。卡尔达诺的父亲是受过良好教育的律师和几何学讲师。卡尔达诺的父亲希望他学习法律，尽管在数学上有过人的天赋，却想以医学为业。19岁时进入帕维亚大学，21岁时开始参加有关欧几里得几何的公开辩论和演讲。后转学到帕多瓦大学，25岁时在那里获得医学学位。

卡尔达诺

卡尔达诺，性情急躁，报复心强，容易发怒，经常卷入严重的争吵中。从1524年到1547年，他官司缠身，更重要的是全都胜诉。不难想象，如果能像他父亲期望的那样学习法律，想必也会成为一名优秀的法官或律师。

在医学界，卡尔达诺声誉日隆。16世纪30年代，他可能已成为意大利北部最受欢迎的医生。1537年，被邀请在帕维亚大学教授医学，但被他拒绝。真是有性格，任性呀！

卡尔达诺之所以被称为文艺复兴时期的男人，是因为除了在医学，在其他几个迥异的领域成就非凡。比如他还是一个资深的赌徒，出版了非常受欢迎且实用的赌徒手册。其中包括了一些概率方面的先进知识，当然少不了千术。

卡尔达诺出生在一个迷信的家庭，继承了家族的传统。他还为达官显贵们占星。精通数学和天文学的人经常干这事儿。虽然卡尔达诺对他的能力颇感自豪，但这些行当让他陷入各种各样的麻烦当中。聪明反被聪明误。

卡尔达诺的大衍术。使三次方程和4次方程的代数方法为人所知，这是一个巨大的贡献。

导火索

听说塔尔塔利亚战胜了费尔之后，卡尔达诺曾请求塔尔塔利亚，允许在他的书中披露塔尔塔利亚的三次方程解法，他承诺这种解法将完全归功于塔利亚。

塔尔塔利亚随即回复：她正计划自己写一本书，将在书中清楚的说明三次方程解法。但由于还有其他大量的工作要做，并没有说什么时候出版这本书。卡尔达诺并不满足于这个回复，于是不屈不挠的百般恳求。

在留存的信件当中，可以看出两个人的关系，时而紧张，时而轻松。卡尔达诺称塔尔塔利亚贪婪并吝于助人。比如猛烈地批评塔尔塔利亚弹道学著作中的一些成果，塔尔塔利亚当然会亮剑接招，做出激烈的回复。两人都不是善茬，真真是棋逢对手。

卡尔达诺有计划、有预谋的去达到自己的目的。作为计划的一部分，卡尔达诺友好的邀请塔尔塔利亚到家中做客，并不失时机的指出，他还会有更多的表示。卡尔达诺声称他非常有兴趣解决纯粹的学术争端，最终他的诡计得逞，他以一个大人物阿方索·德·阿瓦洛斯的名义，给塔尔塔利亚写信道：“必须首先声明，我很崇敬你，关于弹道学的书一问世，我就买了一本，送了一本给侯爵先生(德·阿瓦洛斯)。”而德·阿瓦洛斯是西班牙人总督，帝国军队首领，是当时意大利最具有影响力的人物之一。

在1539年3月13日的另一封信中，卡尔达诺写道：德·阿瓦洛斯急切的命令我，以他的名义立即写这封信给你，建议你见信后务必到米兰来，因为他很想与你谈谈。塔尔塔利亚非常清楚的意识到与德·阿瓦洛斯的友谊会对他有很大的帮助，于是回复：尽管我不愿意去那边，但我会去的。

不出所料，当塔尔塔利亚到米兰的时候，德·阿瓦洛斯不在。很难说这是故意欺骗还是显贵日程匆忙？如果是欺骗，这将是一个很复杂和危险的方案，因为拿着邀请函的塔尔塔利亚，如果直接给德·阿瓦洛斯写信的话，卡尔达诺就是搬石头砸了自己的脚。似乎卡尔达诺也能做出这种聪明反被聪明误的事情。

卡尔达诺设法从塔尔塔利亚那里套出“三次方程解法”，塔尔塔利亚不会傻到拱手交出。他给卡尔达诺的是解决压缩了的方程规则，并且以加密了的诗句的形式给出。虽然后来他清楚的向卡尔达诺做出了解释。

1539年9月，卡尔达诺的《通用算术实践》出版，书中没有塔尔塔利亚的解法。塔尔塔利亚对书中的错误给出了一些解释。事实上，他是在取笑卡尔达诺的书。接下来的一段时间，卡尔达诺在酝酿另一本书《大衍术》，书中收录了很多基础成果。他清楚的意识到三次方程的解法对该书的成功与否意义重大。所以他和能干的助手卢多维科·费拉里，在一起花了数年时间揣摩出塔尔塔利亚那些诗句的意思，并进行了拓展。

大衍术

关于三次方程的内容在第11章中出现，这一章的名字是“关于立方加一次方等于常数”。塔尔塔利亚给卡尔达诺的法则涵盖了三次方程的三个基本形式。

当时的数学家不会用负系数，没有我们现在所用的代数符号，所以没有采用简单、通用的形式：

卡尔达诺的《大衍术》运用了大量的几何知识。正如威廉·顿汉姆在他的《天才之旅》中所说：“他的证明纯粹是几何的，包括了用文字书写的立方体和它们的体积。实际上，当我们回想一下当时代数符号落后的情形，以及在文艺复兴时期数学家心目中古希腊几何学的崇高地位，我们就不会为之吃惊了。”

在《大衍术》每一章中，卡尔达诺首先给出一个特别数值三次方程的几何说明，再写出解决该方程的一般方法，然后举出一道或多道例题，并应用法则去解它。因为用0和负数做系数还没有出现，卡尔达诺只能详细说明13种不同的三次方程，每种都只用正系数，且独立成章。然而几何解法拐弯抹角且冗长，使人人费解难懂。

神圣的诺言

毫无疑问，在这个领域卡尔达诺的贡献巨大，但对塔尔塔利亚似乎有点背信弃义，假如他们之间有一个保密的神圣许诺的话！基于塔尔塔利亚的声明，是存在这样一个承诺的。出版《大衍术》后第2年，塔尔塔利亚出版了《各种问题和发明》，书中保留了他们会面的详细记录，以及卡尔达诺给他的承诺：“我按着神圣的福音书起誓，以一个绅士的名义保证，不仅在你告诉我你的发现之后，永不出版它；而且我以一个真正的基督徒的名义承诺，保证把它们当密码一样潜藏在心里，即使在我死后，没有人能够理解他们。”

有人指出一个事实：卡尔达诺和塔尔塔利亚会面时，卡尔达诺的秘书和助手卢多维科·费拉里也在场，费拉里后来振振有词的赌咒说，卡尔达诺从来没有发过那样的誓。确实没人能否定塔尔塔利亚会对会面记录做出歪曲修改，更何况是盛怒之下的塔尔塔利亚。

《大衍术》出版6年后，卡尔达诺和弗拉里听说另有他人拥有三次方程的解法，于是在1543年来到博洛尼亚，拜访他们的同道安妮贝勒·德拉·纳夫。在那里，他们被允许查看西皮奥内·德尔·费罗的手稿，由此他们得知，德尔·费罗才是最早用代数方法解决此类方程的人，而不是塔尔塔利亚。基于此他们认为：塔尔塔利亚不是这种方法的原创者，即使卡尔达诺曾立下誓言，也是一个无效的誓言。

尽管如此，卡尔达诺在宣布自己发现三次方程求解法则的问题上很谨慎。在三个地方，他引用了前人在解三次方程上的成果。在第1章开始不久，他写道：“在我们的时代，博洛尼亚的西皮奥内·德尔·费罗已经解决了三次方加一次方等于常数的情况，这是个了不起的、令人佩服的成就。”

在第11章开头写道，塔尔塔利亚在我的恳求下，把解法给了我。借助这个法则的帮助，我找到了实证，这确实是一件困难的事。

在秘书兼助手卢多维科·费拉里的帮助下，以开始使用的方法为踏脚石，通过运用恰当的代入法，将它们变成我们熟知的形式，找到了三种其他三次方程的解法。在费拉里的再次帮助下，卡尔达诺也展示了怎样以这些三次方程解法为基础去寻找4次方程的解法。并且卡尔达诺指出，三次方程应该有三个根。

战火的延续

尽管得到了卡尔达诺的承认，塔尔塔利亚也还是怒火中烧。塔尔塔利亚在他的书《各种问题和发明》的后半部分，全力批判卡尔达诺和他的《大衍术》。塔尔塔利亚嘲笑卡尔达诺的数学能力，否认曾经给过卡尔达诺承诺，并指控他剽窃。

脾气暴躁的费拉里面对此种情形，于1547年2月10日，以一封挑战书做出了回应，宣称塔尔塔利亚几乎可以在任何科学课题上向他挑战与他辩论。费拉里把挑战书同时传给全意大利的很多学者和显贵，以至于塔尔塔利亚很难拒绝。费拉里的攻势凶猛，认为塔尔塔利亚利用攻击他人来给自己碑立传；在自己书中发表了一个没被承认的证据，证明他的成果被剽窃；具有讽刺意味的是他的书里充满了错误。

对此塔尔塔利亚回应说，他想挑战的是卡尔达诺，而不是他的学生费拉里。尽管如此，塔尔塔利亚只好勉强同意，接受挑战。费拉里坚持：卡尔达诺的解法应归功于德尔·费罗和费尔，因为两人都早于塔尔塔利亚找到三次方程的解法，对此我们无须宣誓保密。在接下来8个月的战斗中，塔尔塔利亚败下阵来，费拉里宣布获胜，而卡尔达诺压根就没有参加。

塔尔塔利亚失去了家乡的职位，而费拉里收到了很多待遇不错的邀请。塔尔塔利亚失去了公众对他的尊重和享有的声誉，痛苦万分的塔尔塔利亚意图将他的痛苦发泄到卡尔卡诺身上。他隐退到圈子的一角，愤怒的等待着，观望着，谋划着。

复仇

塔尔塔利亚设法用一个复杂的计谋，诱使卡尔达诺上当，并利用卡尔达诺与戈那扎加的友情和教皇对占星术的沉溺。戈那扎加是米兰的总督，也是教皇的对手。因此，塔尔塔利亚有个主意：通过巧妙安排，要求卡尔达诺作为一个占星家和医生为教皇服务。可以由此激起某种针对政治密谋的指控。但志得意满的卡尔达诺，不需要任何保护人，以个人原因拒绝了邀请。塔尔塔利亚接着向人们灌输，卡尔达诺想通过拒绝邀请来冒犯教皇陛下。塔尔塔利亚还抄写了一份卡卡尔达诺早年对耶稣的占星分析，意在表明这是在亵渎神明。此时的形势对卡尔达诺很不利，但还不至于击倒卡尔达诺。不会善罢甘休的塔尔塔利亚接着谋划另一场战役。

卡尔达诺事业如日中天，把持着帕维亚大学的医学讲师，这为他赢得了物质财富、写作时间和崇高威望，各种各样的邀请接踵而至。看到风光的对手，塔尔塔利亚努力的克制自己，就像当初卡尔达诺缠着塔尔塔利亚那样，倔强的塔尔塔利亚怎会放过让自己身败名裂的卡尔达诺。正所谓天道循环，出来混迟早是要还的。终于，女神垂青于他。

卡尔达诺在很多方面都很幸运，但他的两个儿子和一个女儿，都在为他铺着走上毁灭的路。得益于卡尔达诺的显赫，他的女儿齐亚拉嫁给了贵族世家。不幸的是，齐亚拉是一个生活放荡的女人。因此不仅被要求解除婚约，还要求卡尔达诺作出赔偿。1557年和1558年两年，卡尔达诺深陷法律和教会的纠纷中难以脱身，曾经光环无比的名声开始损毁。祸不单行，另一个麻烦来了，1557年12月他最喜爱的大儿子简巴蒂斯塔结婚了。卡尔达诺本来期望老大能娶一个好女人，但却选了一个穷困没落人家的女儿，一家人指望卡尔达诺能扶持他们，而卡尔达诺确实在他们身上花费了巨大的资金。两年后。简巴蒂斯塔的妻子死于砒霜中毒，卡尔达诺的儿子以谋杀罪被捕。卡尔达诺竭尽所能证明儿子是无辜的，但简巴蒂斯自己做了坦白交代而被处决。卡尔达诺被笼罩在这个阴影中，同时极大影响了他的神智，开始变得疑神疑鬼，怀疑有人对他图谋不轨。他的另一个酒鬼和赌鬼儿子阿尔多又给他带来了新的麻烦，债台高筑、无法相处。

现在有人图谋把卡尔达诺从帕维亚大学的医学讲习上赶下来，接着就是剥夺他在米兰的更有威望的大学里的席位，1653年，他被取消了讲师资格，还被控犯了好几种罪。

1570年10月13日，塔尔塔利亚给了卡尔达诺双重打击。利用卡尔达诺亲生儿子阿尔多作为告密者，透露卡尔达诺的行踪，塔尔塔利亚把他交给了裁判所。并收集对卡尔达诺的不利证据多年，其中一条“罪证”是，卡尔达诺拒绝教皇的邀请，不去做他的占星家和医生。卡尔卡诺关于耶稣的命盘分析是灾难性的，一些断章取义的说法会被解读为亵渎神明。于是卡尔达诺受审，幸运的是卡尔达诺没被处死，而是被投入监狱。他近乎绝望的寻求帮助，求救被教会汉米尔顿大主教得知，最终得到营救。事情至此，塔尔塔利亚的复仇终于算是成功了。卡尔诺死于1576年，不到一年，塔尔塔利亚也随他而去。

塔尔塔利亚那伟大而富有创意的三次方程的解法，对数学的发展是有着划时代意义的！而卡尔达诺这一“多才多艺”同时包含着种种缺点的欧几里得式的人才，对数学的贡献也是巨大的。暴躁的天才费拉里和卡尔达诺与塔尔塔利亚，在那个时代没能做好充分的合作和交流，在争斗中消耗了彼此，这成就了数学的发展，也可能限制了数学的发展。