高一数学必修二直线与圆的方程：选择性必修第一册第二章
高一数学必修二直线与圆的方程：选择性必修第一册第二章3种重要方程：直线的方程，圆的标准方程，圆的一般方程；2个重要概念：倾斜角，斜率；(4）平面几何中已经学习了圆的定义，在此基础上学习圆的标准方程与一般方程；(5）平面几何中已经学习了直线与圆、圆与圆的位置关系，本章将利用直线方程与圆的方程来判定相关的位置关系。二、本章需要掌握的内容有：
一、初中所学知识与本章有哪些联系？
(1）初中阶段我们已经学习了一次函数，知道它的图象是一条直线，本章学习中，我们会给出直线的几种方程形式，并根据方程画出相应直线；
(2）初中阶段我们已经学习了点与点、点与线、线与线距离的几何求法，本章我们将用直线方程借助代数法求解；
(3）初中阶段已知道了直线与直线的垂直与平行关系，本章将利用直线方程加以灵活判断；
(4）平面几何中已经学习了圆的定义，在此基础上学习圆的标准方程与一般方程；
(5）平面几何中已经学习了直线与圆、圆与圆的位置关系，本章将利用直线方程与圆的方程来判定相关的位置关系。
二、本章需要掌握的内容有：
2个重要概念：倾斜角，斜率；
3种重要方程：直线的方程，圆的标准方程，圆的一般方程；
3种直线位置判定：平行，垂直，相交；
3种位置关系：点与圆，直线与圆，圆与圆；
5个常用公式：斜率公式，两点间距离公式，点线距公式，线线距公式，圆的弦长公式；
1种重要方法：坐标法。
三、思想方法归纳
1，数形结合的思想
本章中，直线与圆本身就是几何图形，解题时要充分利用图形的直观性和图形自身的几何性质，特别是一些关于位置关系、参数范围、图形对称、距离最值等的问题，借助数形结合，往往能简化解题过程，快速得出结论。
2，分类与整合的思想
分类与整合的思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题，在用二元二次方程表示圆时，在求直线的斜率时，在分析直线、圆的位置关系时都要分类讨论。
3，函数与方程的思想
方程思想，就是通过解方程（组）或对方程（组）的研究，使问题得到解决，本章中，直线与直线、直线与圆、圆与圆之间的位置关系问题、交点问题都可以通过研究相应的方程（组）来解决。函数思想，就是通过函数的形式，用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。本章中，一些涉及最值的问题，可以建立变量间的函数关系，利用函数的知识进行求解。
四、专题归纳总结
1，直线与圆中的对称问题
（1）中心对称问题
a，点关于点对称
若点P Q关于点M对称，则点M为线段PQ的中点。设点P的坐标为（x0，y0），点 M 的坐标为（a b)，则点Q的坐标为（2a-x0，2b-y0)。
b，直线关于点对称
若两条直线l1，l2关于点M（点M不在直线上）对称，则l1 ⫽ l2且点M到直线l1，l2的距离相等。
设l1：Ax By C=0，点M的坐标为（a b)，则l2的方程为A(2a-x) B(2b-y) C=0。
c，圆关于点对称
若两个圆关于点M对称，则这两个圆的圆心关于点M对称，且半径相等。
d，曲线f(x y)=0关于点M(a b）对称的曲线方程为f(2a-x 2b-y)=0。
（2）轴对称问题
a，点关于直线对称
若点P Q关于直线l对称，则直线l为线段PQ的垂直平分线。
若点P的坐标为（x1 y1)，直线l的方程为Ax By C=0(A B≠0)，设点Q的坐标为（x2 y2），则（y2-y1)/（x2-x1)=B/A，A·(x1 x2)/2 B·(y2 y2)/2 C=0，由此可求出点Q的坐标。
b，在直线关于直线对称
若两条直线l1 l2关于直线l对称，有两种情形：
①若l1 ⫽ l，则l1 ⫽ l2 且直线l到直线l1，l2的距离相等；
②若l1∩l=P，则直线l2过点P，且直线l为直线l1 l2夹角（或其邻补角）的平分线。
注意：若两条直线l1，l2关于直线l对称，则直线l2上的任意一点关于直线l对称的点都在直线l2上。
c，圆关于直线对称
若两个圆关于直线l对称，则这两个圆的圆心关于直线l对称，且半径相等。
2，直线与圆相交时弦长的求法
直线与圆相交时，会形成一条弦，弦长的求法主要有以下三种：
a，先求交点，再利用两点间的距离公式
若直线与圆的两个交点分别为A(x1 y1) B(x2 y2)，则弦长|AB|=根号下(x 1一x2)的平方 (y1ーy2)的平方。
b，利用勾股定理
若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长l=2根号下r的平方-d的平方。
c，利用弦长公式
若直线l的斜率为k，与圆的两个交点分别为 A(x1 x2) B (x2 y2)，则弦长|AB|=根号下(1 k的平方)·|x1-x2|=根号下(1 k的平方)[(x1 x2)的平方-4x1x2]或|AB|=根号下(1 1/k方)|y1-y2|。
说明：方法1思路简单但运算较复杂，主要用于直线与圆的方程比较简单的题目中；
方法2利用了垂径定理，计算较简单，是求圆的弦长最重要的方法；
方法3利用根与系数的关系，避免了求交点坐标，可以在一定程度上简化运算，适用于含有参数的问题，并且这种方法在下一章中有更多的应用。
d，圆的几种特殊弦
(1）过圆内一点（不包括圆心）的最长弦和最短弦
圆的最长弦一定是直径，因此求过圆内一点（不包括圆心）的最长弦所在直线方程就是求过圆心和该点连线的方程；由垂径定理知最短弦满足其所在直线与前面所说的最长弦所在直线垂直。
(2）以圆内一点（不包括圆心）为中点的弦
根据圆的几何性质知，弦（不是直径）的中点与圆心的连线与弦所在直线垂直，因此求以圆内一点（不包括圆心）为中点的弦所在直线方程的方法如下：先求出中点（已知点）与圆心连线的斜率（若不存在，则所求直线的斜率为0)，从而得出所求直线的斜率（若前面所求斜率为0，则此处斜率不存在），再根据直线的点斜式方程写出所求直线方程即可。
(3）两圆相交时的公共弦
求两相交圆公共弦所在直线方程，只需将两个圆的一般方程直接相减消去二次项即可，弦长的求解还是运用垂径定理。
3，圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题
a，圆上的点到圆外定点的距离的最值
设圆C的半径为r，点Q为圆外一点，点P为圆C上任意一点，则|PQ|的最小值为|QC|-r，最大值为|QC| r。当P Q C三点共线，即点P与点N或点M重合时，分别取得最小值和最大值，如图2-5所示。
b，圆上的点到定直线的距离的最值
已知直线l和圆C，圆C的半径为r，点P为圆C上任意一点。过圆心C作直线l的垂线，垂足为Q，交圆C于点M N .
(1）若直线l与圆相离或相切，则点P到直线I的距离的最小值为|NQ|=|CQ-r，最大值为|MQ|=|CQ| r，如图2-6和2-7所示。
(2）若直线l与圆相交，则点P到直线l的距离的最小值为0，最大值为|MQ|=|CQ| r 劣弧上的点到直线l的最大距离为|NQ|=r-|CQ|，如图2-8所示。
方法点拨：圆中的最值问题往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题，有时也可利用三角换元把最值问题转化为三角函数式的最值问题来处理。
规律总结：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r
(1）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m，则0≤d＜r-m;(2）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为m，则d=rーm;(3）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为m，则r-m<d＜r m;(4）若圆上有且仅有一个点到直线的距离为m，则d=r m。
4，阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯是古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果。阿波罗尼斯圆是其成果之一。
在平面上给定两点A B，设点P在同一平面上且满足|PA|/|PB|=入，当入＞0且入≠1时，点 P 的轨迹是一个圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆（入＝1时，点 P 的轨迹是线段 AB的垂直平分线）。
这个基于线段比产生的圆在高考中有着广泛的应用。下面我们做个简单的总结。
a，阿波罗尼斯圆的相关性质
相加为定值：阿波罗尼斯圆
定理：A B为平面上两已知点，P Q分别为线段AB的定比为入（入>0且入≠1）的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意一点到A B两点的距离之比为入。
b，阿波罗尼斯圆的应用
(1)考查阿波罗尼斯圆的性质；
(2)考查与阿波罗尼斯圆的轨迹方程有关的问题。
0×10奇妙的阿波罗尼斯圆
